Il calcolo è lo studio di come cambiano le cose. Fornisce un quadro per studiare il cambiamento e dedurre previsioni per tale cambiamento. Per capire il calcolo devi avere una comprensione di due cose: numeri e funzioni! Il calcolo ci aiuta a capire i cambiamenti tra i valori che sono correlati da una funzione.
Ad esempio, nello studio della diffusione delle malattie infettive, facciamo molto affidamento sul calcolo. Vengono presi in considerazione tre fattori principali,
Con queste tre variabili, il calcolo può essere utilizzato per determinare quanto e quanto velocemente si sta diffondendo una malattia, da dove ha avuto origine e qual è il modo migliore per trattarla. Poiché i tassi di infezione e guarigione cambiano nel tempo, le equazioni devono essere sufficientemente dinamiche da rispondere ai nuovi modelli che si evolvono ogni giorno. Molte di queste formule sono funzioni del tempo e un modo per pensare al calcolo è vederlo come uno studio delle funzioni del tempo.
Per affrontare il problema della variazione delle quantità rispetto al tempo, il calcolo ha tre strumenti:
(1) Limits, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Un limite fornisce il valore a cui una funzione si avvicina man mano che gli input di quella funzione si avvicinano sempre di più a un certo numero. I limiti sono strumenti per descrivere come una funzione si avvicina a un valore
(2) Derivate, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : È il tasso di variazione di una funzione rispetto a una variabile. La derivata descrive come cambia una funzione
(3) Integrale, \(\int f(x)dx\) : Corrisponde alla somma di pezzi infinitesimi per trovare l'area, il volume di una regione continua. Area di derivazione integrale sotto una curva di una funzione
Tutti questi strumenti sono correlati tra loro. Le derivate sono costruite dai limiti e un integrale è l'inverso di una derivata.
Lo studio formale del calcolo è iniziato nel XVII secolo da noti scienziati e matematici come Isaac Newton e Gottfried Leibni. È una disciplina matematica che si occupa principalmente di funzioni, limiti, derivate e integrali. Ci sono 2 diversi campi di calcolo. Il primo sottocampo è chiamato calcolo differenziale. Usando il concetto di derivate di funzioni, studia il comportamento e la velocità di come cambiano le diverse quantità. Utilizzando il processo di differenziazione, il grafico di una funzione può effettivamente essere calcolato, analizzato e previsto. Il secondo sottocampo è chiamato calcolo integrale . L'integrazione è in realtà il processo inverso di differenziazione, interessato al concetto di antiderivato.
Quando usi il calcolo nel mondo reale? Viene utilizzato per creare modelli matematici al fine di arrivare a una soluzione ottimale. Per esempio,
- In fisica, il concetto di calcolo è usato in movimento, elettricità, calore, luce, armoniche, acustica, astronomia, dinamica, elettromagnetismo e la teoria della relatività di Einstein usa il calcolo.
- In chimica, il calcolo può essere utilizzato per prevedere funzioni come velocità di reazione e decadimento radioattivo.
- In biologia, è utilizzato per formulare tassi come i tassi di natalità e mortalità.
- In economia, il calcolo viene utilizzato per calcolare il costo marginale e il ricavo marginale, consentendo agli economisti di prevedere il massimo profitto in un contesto specifico.
Proviamo a capire il calcolo usando alcuni esempi:
Uno degli scenari in cui la soluzione è solo nel calcolo è conoscere la velocità di variazione del volume di un cubo rispetto alla variazione dei suoi lati. Se \(dy\) rappresenta la variazione di volume di un cubo e dx rappresenta la variazione dei lati del cubo, allora possiamo usare la forma derivata \(^{dy}/_{dx}\) . Tracciamo la spostamento dell'auto rispetto al tempo. L'asse x rappresenta il tempo e y lo spostamento. Ora riesci a trovare qual era la velocità nel punto (t1,y1)?
Controlla la figura 2, se l'auto copre la distanza y2 − y1 all'intervallo di tempo x2 − x1 allora, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Questo può anche essere scritto come cambiamento di distanza/cambiamento di tempo, che è velocità. Quindi qualsiasi pendenza di una linea in questo grafico fornisce velocità. man mano che \(\Delta t \) si riduce, ci avviciniamo alla ricerca della velocità istantanea in un punto di questo grafico. Per trovare la velocità abbiamo bisogno di due punti poiché la velocità è uguale alla variazione della distanza ∕ variazione del tempo. Se stai cercando di trovare la velocità istantanea usando questa formula riducendo l'intervallo di tempo quasi a 0, allora stiamo derivando la derivata di questa funzione. Imparerai come derivare una derivata di una funzione nella lezione Derivata.
Quindi, se questo grafico è definito come y = t 2 + 2 , la velocità in qualsiasi momento sarà 2t (derivata usando la formula derivata). Ora puoi trovare la velocità istantanea in qualsiasi momento.
Il processo di ricerca delle derivate si chiama differenziazione. Sia y = f(x) la derivata di una funzione. È la misura della velocità con cui cambia il valore di y rispetto alla variazione della variabile x. È nota come derivata della funzione “f”, rispetto alla variabile x.
Se una variazione infinitesimale di x è indicata come dx, allora la derivata di y rispetto a x è scritta come dy ∕ dx.
Un'auto che viaggia a 30 km all'ora. Se guida per 4 ore, la distanza percorsa è 30 × 4 = 120 km. Ma qui la domanda è: può un'auto correre a una velocità costante di 30 km∕ora? No, considerando che la strada avrà semafori, dossi e curve, la velocità varierà. Quindi ora lo stesso problema diventa complesso, come determinare la distanza percorsa da un'auto in un particolare istante che correva a velocità variabili?
Questo problema ha una soluzione nel calcolo! Lo spostamento totale dell'auto può essere trovato prendendo l'integrale della velocità dell'auto rispetto al tempo.
Consideriamo un altro grafico in cui viene tracciata la velocità rispetto al tempo. Se vogliamo trovare la distanza percorsa dall'auto nell'intervallo di tempo t2− t1, allora la distanza è velocità × tempo , che è l'area sotto la curva tra due punti t1 e t2.
Per ricavare l'area usiamo il calcolo integrale. Se la velocità s è una funzione del tempo t, cioè S = F(t) allora usando l'integrale possiamo trovare l'area di questa porzione come \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Per trovare l'area sotto questa curva deriviamo l'integrazione di una funzione. Come farlo lo imparerai nella lezione integrale. Se questo grafico traccia la funzione y = x 2 allora l'area sotto la curva per il tempo da t1= 1 a t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (dove C è una costante) = 7/3
L'integrazione è un metodo per aggiungere o sommare le parti per trovare il tutto. È un processo inverso di differenziazione, in cui riduciamo le funzioni in parti. L'integrale viene utilizzato per trovare la sommatoria su una vasta scala. Il calcolo di piccoli problemi di addizione può essere fatto manualmente o tramite calcolatrici, ma per grandi problemi di addizione, dove i limiti possono arrivare anche all'infinito, vengono utilizzati metodi di integrazione.
Un limite ci permette di esaminare la tendenza di una funzione attorno a un dato punto anche quando la funzione non è definita nel punto. Diamo un'occhiata alla funzione qui sotto.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Poiché il suo denominatore è zero quando x=1, f(1) è indefinito, tuttavia, il suo limite in x=1 esiste e indica che il valore della funzione si avvicina a 2 lì.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
