微積分は、物事がどのように変化するかを研究するものです。これは、変化を研究し、そのような変化の予測を推測するためのフレームワークを提供します。微積分を理解するには、数値と関数という 2 つのことを理解する必要があります。微積分は、関数によって関連付けられた値間の変化を理解するのに役立ちます。
たとえば、感染症の蔓延の研究では微積分に大きく依存しています。 3 つの主な要因が考慮されます。
これら 3 つの変数を使用して、微積分を使用して、病気がどの程度の距離と速さで広がっているのか、どこから発生しているのか、そしてそれを治療する最善の方法は何かを判断することができます。感染率と回復率は時間の経過とともに変化するため、方程式は日々進化する新しいモデルに対応できるほど動的である必要があります。これらの公式の多くは時間の関数であり、微積分を時間の関数の研究として考える 1 つの方法があります。
時間に対する量の変化の問題に取り組むために、微積分には 3 つのツールがあります。
(1)限界、 \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : 限界は、関数の入力がある数値に近づくにつれて関数が近づく値を与えます。制限は、関数が値にどのように近づくかを説明するツールです
(2)導関数\(\frac{d}{dx} f(x)\) : 変数に対する関数の変化率です。導関数は関数がどのように変化するかを表します
(3)積分、 \(\int f(x)dx\) : 連続領域の面積、体積を求めるために微小な部分を合計することに相当します。関数の曲線の下の積分導出領域
これらのツールはすべて相互に関連しています。微分は極限から構築され、積分は微分の逆です。
微積分の正式な研究は、アイザック ニュートンやゴットフリート ライブニなどの有名な科学者や数学者によって 17 世紀に始まりました。これは、主に関数、極限、微分、積分に関係する数学の分野です。微積分には 2 つの異なる分野があります。最初のサブフィールドは微分積分と呼ばれます。関数導関数の概念を使用して、さまざまな量がどのように変化するかの動作と速度を研究します。微分のプロセスを使用すると、関数のグラフを実際に計算、分析、予測できます。 2 番目のサブフィールドは次のように呼ばれます。 積分計算。統合は実際には微分の逆のプロセスであり、反導関数の概念に関係します。
現実世界で微積分を使用するのはいつですか?最適な解決策に到達するために数学的モデルを作成するために使用されます。例えば、
- 物理学では、微積分の概念は運動、電気、熱、光、高調波、音響学、天文学、力学、電磁気学、アインシュタインの相対性理論で微積分を使用します。
- 化学では、微積分を使用して、反応速度や放射性崩壊などの関数を予測できます。
- 生物学では、出生率や死亡率などの率を計算するために利用されます。
- 経済学では、微積分は限界費用と限界収益を計算するために使用され、経済学者が特定の環境での最大利益を予測できるようになります。
いくつかの例を使用して微積分を理解してみましょう。
微積分のみで解決できるシナリオの 1 つは、立方体の側面の変化に対する体積の変化率を知ることです。 \(dy\)が立方体の体積の変化を表し、dx が立方体の側面の変化を表す場合、導関数形式\(^{dy}/_{dx}\)を使用できます。時間に対する車の変位。 x 軸は時間を表し、y は変位を表します。さて、点 (t1,y1) での速度はいくらだったのかわかりますか?
図 2 を確認してください。車が時間間隔 x2 − x1 で距離 y2 − y1 を走行する場合、 \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\)これは、距離の変化/時間の変化、つまり速度と書くこともできます。したがって、このグラフの線の傾きは速度を表します。 \(\Delta t \)が減少するにつれて、このグラフのある点における瞬間速度の発見に近づきます。速度は距離の変化 ∕ 時間の変化に等しいため、速度を求めるには 2 つの点が必要です。この式を使用して時間間隔をほぼ 0 に短縮して瞬間速度を求めようとしている場合、この関数の導関数を導出することになります。微分レッスンでは、関数の導関数を導出する方法を学びます。
したがって、このグラフがy = t 2 + 2として定義されている場合、任意の時点での速度は2tになります (微分公式を使用して導出されます)。いつでも瞬間速度を知ることができます。
導関数を見つけるプロセスは微分と呼ばれます。関数の導関数を y = f(x) とします。これは、変数 x の変化に対して y の値が変化する割合の尺度です。これは、変数 x に関する関数「f」の導関数として知られています。
x の微小な変化が dx と表される場合、x に関する y の導関数はdy ∕ dx と表されます。
時速30kmで走る車。 4 時間運転すると、移動距離は 30 × 4 = 120 km になります。しかしここで問題となるのは、車は時速 30km の一定速度で走行できるかということです。いいえ、道路には信号、段差、曲がり角があることを考慮すると、速度は変化します。それでは、さまざまな速度で走行している自動車が特定の瞬間に移動した距離をどのように判断するかという同じ問題が複雑になります。
この問題は微積分で解決できます。車の総変位は、車の速度を時間で積分することで求められます。
速度を時間に対してプロットした別のグラフを考えてみましょう。時間間隔 t2 − t1 内に車が移動した距離を知りたい場合、距離は速度 × 時間であり、これは 2 点 t1 と t2 の間の曲線の下の領域です。
面積を求めるには積分法を使用します。速度 s が時間 t の関数である場合、つまり S = F(t) の場合、積分を使用すると、この部分の面積を\(F(t) = \int s\cdot dt\)として求めることができます。この曲線の下の領域を見つけるために、関数の積分を導き出します。その方法は積分レッスンで学びます。このグラフが関数 y = x 2をプロットすると、時間 t1= 1 から t2= 2 までの曲線の下の面積\(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (C は定数) = 7/3
統合とは、部分を足したり合計したりして全体を見つける方法です。これは分化の逆のプロセスであり、機能を部品に還元します。積分は、広大なスケールで合計を求めるために使用されます。小さな加算問題の計算は手動または電卓で行うことができますが、制限が無限大に達する可能性がある大きな加算問題の場合は、積分法が使用されます。
制限を使用すると、関数がその点で定義されていない場合でも、指定された点の周囲での関数の傾向を調べることができます。以下の関数を見てみましょう。
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
x=1 のとき分母が 0 であるため、f(1) は未定義ですが、x=1 での極限が存在し、そこで関数値が 2 に近づくことを示します。
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
