Калкулусот е студија за тоа како работите се менуваат. Обезбедува рамка за проучување на промената и за изведување предвидувања за таквата промена. За да го разберете пресметувањето, треба да имате разбирање за две работи - броеви и функции! Калкулусот ни помага да ги разбереме промените помеѓу вредностите кои се поврзани со функција.
На пример, во проучувањето на ширењето на заразни болести, ние во голема мера се потпираме на калкулусот. Се земаат предвид три главни фактори,
Со овие три променливи, калкулусот може да се користи за да се утврди колку далеку и брзо се шири болеста, од каде потекнува и кој е најдобриот можен начин за нејзино лекување. Како што стапките на инфекција и закрепнување се менуваат со текот на времето, така равенките мора да бидат доволно динамични за да одговорат на новите модели кои се развиваат секој ден. Многу од овие формули се функции на времето, а еден начин да се размислува за пресметката е да се гледа како студија на функциите на времето.
За да се справи со проблемот на менување на количините во однос на времето, пресметката има три алатки:
(1) Ограничувања, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Ограничувањето ја дава вредноста до која се приближува функцијата додека влезовите на таа функција се поблиску и поблиску до некој број. Границите се алатки за да се опише како функцијата се приближува до вредност
(2) Изводи, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Тоа е брзината на промена на функцијата во однос на променлива. Изводот опишува како се менува функцијата
(3) Интеграл, \(\int f(x)dx\) : Одговара на собирање на бесконечно мали парчиња за да се најде плоштината, волуменот на континуиран регион. Интегрално изведено подрачје под крива на функција
Сите овие алатки се поврзани една со друга. Дериватите се изградени од граници, а интегралот е инверзна на извод.
Формалното проучување на пресметката започна во 17 век од познати научници и математичари како Исак Њутн и Готфрид Лајбни. Тоа е математичка дисциплина која првенствено се занимава со функции, граници, деривати и интеграли. Постојат 2 различни полиња на пресметка. Првото подполе се нарекува диференцијална пресметка. Користејќи го концептот на деривати на функции, го проучува однесувањето и брзината на тоа како се менуваат различните величини. Користејќи го процесот на диференцијација, графикот на функцијата всушност може да се пресмета, анализира и предвиди. Се нарекува второто подполе интегрална пресметка . Интеграцијата е всушност обратен процес на диференцијација, поврзан со концептот на анти-дериватот.
Кога користите пресметка во реалниот свет? Се користи за креирање математички модели со цел да се дојде до оптимално решение. На пример,
- Во физиката, концептот на пресметка се користи во движење, електрична енергија, топлина, светлина, хармоници, акустика, астрономија, динамика, електромагнетизам и Ајнштајновата теорија на релативноста користат пресметка.
- Во хемијата, пресметката може да се користи за да се предвидат функции како што се брзината на реакција и радиоактивното распаѓање.
- Во биологијата, се користи за формулирање на стапки како што се стапките на наталитет и смртност.
- Во економијата, пресметката се користи за пресметување на маргиналниот трошок и маргиналниот приход, овозможувајќи им на економистите да предвидат максимален профит во одредена средина.
Ајде да се обидеме да го разбереме пресметувањето користејќи неколку примери:
Едно од сценаријата каде што решението е само во пресметка е да се знае стапката на промена на волуменот на коцката во однос на промената на нејзините страни. Ако \(dy\) ја претставува промената на волуменот на коцката, а dx ја претставува промената на страните на коцката, тогаш можеме да ја користиме дериватната форма \(^{dy}/_{dx}\) . поместување на автомобилот во однос на времето. X-оската го претставува времето, а y е поместувањето. Сега можете ли да најдете која била брзината во точката (t1, y1)?
Проверете ја сликата 2, ако автомобилот поминува растојание y2 − y1 во временски интервал x2 − x1 тогаш, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Ова може да се запише и како промена на растојанието/промена на времето, што е брзина. Значи, секој наклон на правата во овој график дава брзина. како што се намалува \(\Delta t \) се приближуваме до наоѓање на моменталната брзина во точка од овој график. За да ја најдеме брзината потребни ни се две точки бидејќи брзината е еднаква на промената на растојанието ∕ промената на времето. Ако се обидувате да ја пронајдете моменталната брзина користејќи ја оваа формула со намалување на временскиот интервал на речиси 0, тогаш го изведуваме изводот на оваа функција. Ќе научите како да изведете извод на функција во лекцијата Извод.
Значи, ако овој график е дефиниран како y = t 2 + 2 , тогаш брзината во која било временска точка ќе биде 2t (изведена со изводна формула). Сега можете да ја пронајдете моменталната брзина во кој било момент од времето.
Процесот на пронаоѓање на дериватите се нарекува диференцијација. Нека, изводот на функцијата е y = f(x). Тоа е мерка за брзината со која вредноста на y се менува во однос на промената на променливата x. Познат е како извод на функцијата „f“, во однос на променливата x.
Ако бесконечно мала промена на x се означува како dx, тогаш изводот на y во однос на x се запишува како dy ∕ dx.
Автомобил кој се движи со 30 километри на час. Ако вози 4 часа, тогаш поминатото растојание е 30 × 4 = 120 km. Но, тука се поставува прашањето, дали автомобилот може да вози со константна брзина од 30 km∕h? Не, имајќи предвид дека патот ќе има сообраќајна сигнализација, нерамнини и вртења, брзината ќе се разликува. Значи, сега истиот проблем станува комплексен, за тоа како да се одреди растојанието поминато со автомобил во одреден момент што се движело со различна брзина?
Овој проблем има решение во пресметката! Вкупното поместување на автомобилот може да се најде со земање на интегралот на брзината на автомобилот во однос на времето.
Дозволете ни да разгледаме друг график каде брзината е нацртана во однос на времето. Ако сакаме да откриеме колку растојание поминал автомобилот во временскиот интервал t2− t1, тогаш растојанието е брзина × време , што е областа под кривата помеѓу две точки t1 и t2.
За да ја изведеме областа користиме интегрална пресметка. Ако брзината s е функција од времето t, т.е. S = F(t), тогаш со помош на интеграл можеме да ја најдеме плоштината на овој дел како \(F(t) = \int s\cdot dt\) . За да ја пронајдеме областа под оваа крива, ја изведуваме интеграцијата на функцијата. Како да го направите тоа ќе научите во интегралната лекција. Ако овој графикон ја исцртува функцијата y = x 2 , тогаш површината под кривата за време t1= 1 до t2= 2 е \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (каде што C е константа) = 7/3
Интеграцијата е метод на собирање или сумирање на деловите за да се најде целината. Тоа е обратен процес на диференцијација, каде што функциите ги сведуваме на делови. Интегралот се користи за да се најде збирот во огромен размер. Пресметката на малите проблеми со собирање може да се направи рачно или со калкулатори, но за големи проблеми со собирање, каде што границите би можеле да достигнат дури и до бесконечност, се користат методи на интеграција.
Границата ни овозможува да ја испитаме тенденцијата на функцијата околу дадена точка дури и кога функцијата не е дефинирана во точката. Да ја погледнеме функцијата подолу.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Бидејќи неговиот именител е нула кога x=1, f(1) е недефиниран, сепак, неговата граница на x=1 постои и покажува дека вредноста на функцијата се приближува до 2 таму.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
