Тооцоолол бол аливаа зүйл хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг судлах явдал юм. Энэ нь өөрчлөлтийг судлах, ийм өөрчлөлтийн таамаглалыг гаргах хүрээг бүрдүүлдэг. Тооцоололыг ойлгохын тулд та тоо, функц гэсэн хоёр зүйлийн талаар ойлголттой байх хэрэгтэй! Тооцоолол нь функцтэй холбоотой утгуудын хоорондын өөрчлөлтийг ойлгоход тусалдаг.
Жишээлбэл, халдварт өвчний тархалтыг судлахдаа бид тооцоо судалгаанд ихээхэн найддаг. Гурван үндсэн хүчин зүйлийг харгалзан үздэг.
Эдгээр гурван хувьсагчийн тусламжтайгаар өвчин хэр хол, хурдан тархаж байгаа, хаанаас үүссэн, түүнийг эмчлэх хамгийн сайн арга юу болохыг тодорхойлоход тооцоолол хийх боломжтой. Халдварын болон эдгэрэлтийн түвшин цаг хугацааны явцад өөрчлөгддөг тул тэгшитгэл нь өдөр бүр хөгжиж буй шинэ загваруудад хариу үйлдэл үзүүлэх хангалттай динамик байх ёстой. Эдгээр томъёоны ихэнх нь цаг хугацааны функцууд бөгөөд тооцооллын талаар бодох нэг арга бол үүнийг цаг хугацааны функцүүдийн судалгаа гэж үзэх явдал юм.
Хэмжигдэхүүнийг цаг хугацааны хувьд өөрчлөх асуудлыг шийдэхийн тулд тооцоололд гурван хэрэгсэл байдаг:
(1) Хязгаарлалт, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Хязгаар нь тухайн функцийн оролт нь зарим тоонд ойртох тусам функц ойртож буй утгыг өгдөг. Хязгаар нь функц нь утгад хэрхэн ойртож байгааг тодорхойлох хэрэгсэл юм
(2) Дериватив, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Энэ нь хувьсагчтай холбоотой функцийн өөрчлөлтийн хурд юм. Дериватив нь функц хэрхэн өөрчлөгдөхийг тодорхойлдог
(3) Интеграл, \(\int f(x)dx\) : Үргэлжилсэн мужийн талбай, эзэлхүүнийг олохын тулд хязгааргүй жижиг хэсгүүдийн нийлбэртэй тохирно. Функцийн муруй доорхи интеграл үүсмэл талбай
Эдгээр бүх хэрэгслүүд хоорондоо холбоотой байдаг. Дериватив нь хязгаараас баригдсан бөгөөд интеграл нь деривативын урвуу утгатай.
Тооцооллын албан ёсны судалгааг 17-р зуунд Исаак Ньютон, Готфрид Лейбни зэрэг нэрт эрдэмтэн, математикчид эхлүүлсэн. Энэ бол үндсэндээ функц, хязгаар, дериватив, интегралтай холбоотой математикийн салбар юм. Тооцооллын 2 өөр талбар байдаг. Эхний дэд талбарыг дифференциал тооцоо гэж нэрлэдэг. Функцийн деривативын тухай ойлголтыг ашиглан янз бүрийн хэмжигдэхүүн хэрхэн өөрчлөгдөх зан төлөв, хурдыг судалдаг. Ялгах үйл явцыг ашиглан функцийн графикийг бодитоор тооцоолж, дүн шинжилгээ хийж, урьдчилан таамаглах боломжтой. Хоёрдахь дэд талбарыг нэрлэдэг интеграл тооцоо . Интеграци гэдэг нь үнэндээ эсрэг дериватив гэсэн ойлголттой холбоотой ялгах урвуу үйл явц юм.
Та хэзээ бодит ертөнцөд тооцоолол ашигладаг вэ? Энэ нь оновчтой шийдэлд хүрэхийн тулд математик загвар үүсгэхэд ашиглагддаг. Жишээлбэл,
- Физикийн хувьд тооцоолол гэдэг ойлголтыг хөдөлгөөн, цахилгаан, дулаан, гэрэл, гармоник, акустик, одон орон судлал, динамик, цахилгаан соронзон, Эйнштейний харьцангуйн онолын тооцоололд ашигладаг.
- Химийн шинжлэх ухаанд тооцоолол нь урвалын хурд, цацраг идэвхт задрал зэрэг функцийг урьдчилан таамаглахад ашиглаж болно.
- Биологийн хувьд энэ нь төрөлт, нас баралтын хувь хэмжээг тодорхойлоход хэрэглэгддэг.
- Эдийн засгийн шинжлэх ухаанд тооцооллыг ахиу зардал, ахиу орлогыг тооцоолоход ашигладаг бөгөөд энэ нь эдийн засагчдад тодорхой нөхцөлд хамгийн их ашгийг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог.
Хэд хэдэн жишээ ашиглан тооцоололыг ойлгохыг хичээцгээе:
Шийдэл нь зөвхөн тооцоололд байдаг хувилбаруудын нэг бол кубын эзэлхүүний өөрчлөлтийн хурдыг түүний талуудын өөрчлөлттэй харьцуулах явдал юм. Хэрэв \(dy\) нь шооны эзэлхүүний өөрчлөлтийг, dx нь шооны талуудын өөрчлөлтийг илэрхийлж байвал бид дериватив хэлбэрийг \(^{dy}/_{dx}\) ашиглаж болно. цаг хугацааны хувьд машины шилжилт . X тэнхлэг нь цаг хугацааг, y нь шилжилтийг илэрхийлдэг. Одоо та (t1,y1) цэг дээр ямар хурд байсныг олж чадах уу?
Хэрэв машин x2 − x1 хугацааны интервалаар y2 − y1 зайг туулж \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) зургийг шалгана уу. \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Үүнийг мөн зайны өөрчлөлт/цаг хугацааны өөрчлөлт гэж бичиж болно, энэ нь хурд юм. Тэгэхээр энэ график дахь шугамын аль ч налуу хурдыг өгдөг. \(\Delta t \) багасгахад бид энэ графикийн цэг дээрх агшин зуурын хурдыг олоход ойртоно. Хурдыг олохын тулд бидэнд хоёр цэг хэрэгтэй, учир нь хурд нь зайны өөрчлөлт ∕ цаг хугацааны өөрчлөлттэй тэнцүү байна. Хэрэв та энэ томъёог ашиглан цагийн интервалыг бараг 0 болгон бууруулж агшин зуурын хурдыг олох гэж байгаа бол бид энэ функцийн деривативыг гаргаж байна. Та Дериватив хичээлээр функцийн деривативыг хэрхэн гаргах талаар сурах болно.
Хэрэв энэ графикийг y = t 2 + 2 гэж тодорхойлсон бол ямар ч цаг хугацааны хурд нь 2t болно (үүсмэл томъёог ашиглан үүсэлтэй). Одоо та ямар ч үед агшин зуурын хурдыг олох боломжтой.
Деривативыг олох үйл явцыг дифференциал гэж нэрлэдэг. Функцийн дериватив нь y = f(x) байг. Энэ нь х хувьсагчийн өөрчлөлттэй холбоотойгоор y-ийн утга өөрчлөгдөх хурдны хэмжүүр юм. Үүнийг x хувьсагчийн хувьд “f” функцийн дериватив гэж нэрлэдэг.
Хэрэв х-ийн хязгааргүй жижиг өөрчлөлтийг dx гэж тэмдэглэвэл х-тэй харьцах у-ийн деривативыг dy ∕ dx гэж бичнэ.
Цагт 30 км хурдалдаг машин. Хэрэв 4 цаг явсан бол туулсан зам нь 30 × 4 = 120 км болно. Гэхдээ энд асуулт гарч ирж байна, машин 30км∕цаг тогтмол хурдтай явж чадах уу? Үгүй ээ, тухайн замд гэрлэн дохио, овойлт, эргэлттэй байх тул хурд нь өөр өөр байх болно. Тиймээс одоо ижил асуудал төвөгтэй болж байна, учир нь янз бүрийн хурдтай ажиллаж байсан тодорхой агшинд автомашины туулсан зайг хэрхэн тодорхойлох вэ?
Энэ асуудал нь тооцооллын шийдэлтэй! Машины нийт шилжилтийг тухайн машины хурдны интегралыг цаг хугацааны хувьд авах замаар олж болно.
Хурдыг цаг хугацааны хувьд зурсан өөр графикийг авч үзье. Хэрэв бид t2− t1 хугацааны интервалд машин хэр их зай туулсаныг олохыг хүсвэл зай нь хурд × цаг хугацаа бөгөөд энэ нь t1 ба t2 хоёр цэгийн хоорондох муруйн доорх талбай юм.
Талбайг гаргахын тулд бид интеграл тооцооллыг ашигладаг. Хэрэв s хурд нь t хугацааны функц, өөрөөр хэлбэл S = F(t) бол интеграл ашиглан энэ хэсгийн талбайг \(F(t) = \int s\cdot dt\) гэж олно. Энэ муруйн доорх талбайг олохын тулд функцийн интегралчлалыг гаргана. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг та интеграл хичээлээс сурах болно. Хэрэв энэ график нь y = x 2 функцийг зурвал t1= 1-ээс t2= 2 хүртэлх хугацааны муруй доорх талбай \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) болно. \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (энд C нь тогтмол) = 7/3
Интеграл гэдэг нь бүхэл хэсгийг олохын тулд хэсгүүдийг нэмэх эсвэл нэгтгэн дүгнэх арга юм. Энэ нь бид функцүүдийг хэсэг болгон багасгаж, ялгах урвуу үйл явц юм. Интеграл нь өргөн хүрээний нийлбэрийг олоход хэрэглэгддэг. Жижиг нэмэх бодлогуудын тооцоог гараар эсвэл тооцоолуураар хийж болох боловч хязгаар нь хязгааргүй хүртэл хүрч болох том нэмэх бодлогын хувьд интеграцийн аргыг ашигладаг.
Хязгаар нь тухайн цэг дээр функц тодорхойлогдоогүй байсан ч тухайн цэгийн эргэн тойронд функцийн хандлагыг шалгах боломжийг олгодог. Доорх функцийг харцгаая.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
x=1 үед хуваагч нь тэг байх тул f(1) нь тодорхойгүй боловч x=1 дэх хязгаар байгаа бөгөөд функцийн утга тэнд 2-т ойртож байгааг харуулж байна.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
