Back to the topics list

ကကကုလ

Calculus သည် မည်ကဲ့သို့ ပြောင်းလဲနေသည်ကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အပြောင်းအလဲကို လေ့လာရန် မူဘောင်တစ်ခု ထောက်ပံ့ပေးပြီး ထိုကဲ့သို့သော အပြောင်းအလဲအတွက် ခန့်မှန်းချက်များကို ဖြတ်တောက်ရန် မူဘောင်တစ်ခု ထောက်ပံ့ပေးသည်။ Calculus ကိုနားလည်ရန် ဂဏန်းများနှင့် လုပ်ဆောင်ချက်များကို နားလည်ရန် လိုအပ်ပါသည်။ Calculus သည် function တစ်ခုနှင့်ဆက်စပ်နေသောတန်ဖိုးများကြားတွင်ပြောင်းလဲမှုများကိုနားလည်ရန်ကူညီပေးသည်။

ဥပမာအားဖြင့်၊ ကူးစက်ရောဂါပြန့်ပွားမှုကို လေ့လာမှုတွင် ကျွန်ုပ်တို့သည် ကုလကို အလွန်အားကိုးပါသည်။ ထည့်သွင်းစဉ်းစားရမည့် အဓိကအချက်သုံးချက်၊

1. အဲဒီရောဂါကို ခံနိုင်ရည်ရှိတဲ့သူတွေ၊
2. ရောဂါကူးစက်ခံရသူများနှင့်
3. ပျောက်ကင်းပြီးသောသူများ၊

ဤကိန်းရှင်သုံးမျိုးဖြင့် ရောဂါတစ်ခုပျံ့နှံ့မှု မည်မျှမြန်သည်၊ ၎င်းသည် မည်သည့်နေရာမှ စတင်လာသည်နှင့် ၎င်းကို ကုသရန် အကောင်းဆုံးနည်းလမ်းမှာ အဘယ်နည်းကို ဆုံးဖြတ်ရန် calculus ကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ ကူးစက်မှုနှုန်းများ အချိန်နှင့်အမျှ ပြန်လည်ကောင်းမွန်လာခြင်းကြောင့် ညီမျှခြင်းများသည် နေ့စဉ်ပြောင်းလဲနေသော မော်ဒယ်အသစ်များကို တုံ့ပြန်ရန် လုံလောက်သော တက်ကြွနေရပါမည်။ ဤဖော်မြူလာအများအပြားသည် အချိန်၏လုပ်ဆောင်ချက်များဖြစ်ပြီး ကုလကိုစဉ်းစားရန်နည်းလမ်းတစ်ခုမှာ ၎င်းအား အချိန်၏လုပ်ဆောင်ချက်များကိုလေ့လာခြင်းအဖြစ်မြင်ရန်ဖြစ်သည်။

အချိန်နှင့်စပ်လျဉ်း၍ ပမာဏပြောင်းလဲခြင်းပြဿနာကို ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကုလဗေဒတွင် ကိရိယာသုံးမျိုးရှိသည်။

(1) ကန့် သတ်ချက်များ၊ \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : လုပ်ဆောင်ချက်၏ ထည့်သွင်းမှုများသည် နံပါတ်အချို့နှင့် ပိုမိုနီးကပ်လာသည်နှင့်အမျှ လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခုသည် ချဉ်းကပ်မှုတန်ဖိုးကို ကန့်သတ်ချက်တစ်ခုပေးသည်။ ကန့်သတ်ချက်များသည် လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခုမှ တန်ဖိုးတစ်ခုသို့ ချဉ်းကပ်ပုံကို ဖော်ပြရန် ကိရိယာများဖြစ်သည်။

(2) Derivatives, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : ၎င်းသည် ကိန်းရှင်တစ်ခုနှင့်စပ်လျဉ်း၍ လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု၏ ပြောင်းလဲနှုန်းဖြစ်သည်။ Derivative သည် လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု ပြောင်းလဲပုံကို ဖော်ပြသည်။

(3) Integral၊ \(\int f(x)dx\) : ဧရိယာကိုရှာဖွေရန် အဆုံးမရှိသောအပိုင်းများကို ပေါင်းစည်းခြင်း၊ စဉ်ဆက်မပြတ်ဧရိယာ၏ ထုထည်နှင့် ကိုက်ညီပါသည်။ လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု၏ မျဉ်းကွေးအောက်ရှိ ပေါင်းစပ်ထားသော ဧရိယာ

ဤကိရိယာအားလုံးသည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ဆက်စပ်နေသည်။ နိမိတ်လက္ခဏာများကို ကန့်သတ်ချက်များမှ တည်ဆောက်ထားပြီး ပေါင်းစပ်တစ်ခုသည် ဆင်းသက်ခြင်း၏ ပြောင်းပြန်ဖြစ်သည်။

Isaac Newton နှင့် Gottfried Leibni တို့ကဲ့သို့ လူသိများသော သိပ္ပံပညာရှင်များနှင့် သင်္ချာပညာရှင်များက ကုလဗေဒဆိုင်ရာ လေ့လာမှုအား ၁၇ ရာစုတွင် စတင်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် လုပ်ဆောင်ချက်များ၊ ကန့်သတ်ချက်များ၊ ဆင်းသက်လာမှုများနှင့် ပေါင်းစည်းမှုတို့နှင့် အဓိကသက်ဆိုင်သော သင်္ချာဆိုင်ရာ စည်းကမ်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ calculus မှာ မတူညီတဲ့ နယ်ပယ် ၂ ခုရှိပါတယ်။ ပထမနယ်ပယ်ခွဲကို differential calculus ဟုခေါ်သည်။ function derivatives သဘောတရားကို အသုံးပြု၍ မတူညီသော ပမာဏများ ပြောင်းလဲပုံ၏ အပြုအမူနှင့် နှုန်းကို လေ့လာသည်။ ကွဲပြားခြင်းလုပ်ငန်းစဉ်ကို အသုံးပြု၍ လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု၏ဂရပ်ကို အမှန်တကယ် တွက်ချက်ခြင်း၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းနှင့် ခန့်မှန်းနိုင်သည်။ ဒုတိယနယ်ပယ်ခွဲကို ခေါ်သည်။ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှု ။ ပေါင်းစည်းခြင်းသည် တကယ်တော့ ကွဲပြားခြင်း၏ ပြောင်းပြန်ဖြစ်စဉ်ဖြစ်ပြီး၊ ဆန့်ကျင်သော ဆင်းသက်လာခြင်း၏ သဘောတရားနှင့် သက်ဆိုင်ပါသည်။

လက်တွေ့ကမ္ဘာမှာ calculus ကို ဘယ်အချိန်မှာ သုံးမလဲ။ အကောင်းဆုံးဖြေရှင်းချက်သို့ရောက်ရှိစေရန် သင်္ချာပုံစံများကိုဖန်တီးရန် ၎င်းကိုအသုံးပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့်,
- ရူပဗေဒတွင်၊ ရွေ့လျားမှု၊ လျှပ်စစ်၊ အပူ၊ အလင်း၊ ဟာမိုနစ်၊ အသံပိုင်းဆိုင်ရာ၊ နက္ခတ္တဗေဒ၊ ဒိုင်းနမစ်၊ လျှပ်စစ်သံလိုက်ပညာနှင့် အိုင်းစတိုင်း၏ နှိုင်းရသီအိုရီကို အသုံးပြုသည့် ကုလဗေဒတွင် ရူပဗေဒတွင် ကုလဗေဒသဘောတရားကို အသုံးပြုသည်။
- ဓာတုဗေဒတွင် တုံ့ပြန်မှုနှုန်းနှင့် ရေဒီယိုသတ္တိကြွ ယိုယွင်းမှုကဲ့သို့သော လုပ်ဆောင်ချက်များကို ခန့်မှန်းရန် calculus ကို အသုံးပြုနိုင်သည်။
- ဇီဝဗေဒတွင် မွေးဖွားနှုန်းနှင့် သေဆုံးနှုန်းများကဲ့သို့သော နှုန်းများကို ပုံဖော်ရန် အသုံးပြုသည်။
- ဘောဂဗေဒတွင်၊ မဖြစ်စလောက်ကုန်ကျစရိတ်နှင့် marginal ၀င်ငွေကိုတွက်ချက်ရန် calculus ကိုအသုံးပြုပြီး ဘောဂဗေဒပညာရှင်များသည် သီးခြားအခြေအနေတစ်ခုတွင် အများဆုံးအမြတ်အစွန်းကို ခန့်မှန်းနိုင်စေပါသည်။

ဥပမာအနည်းငယ်သုံးပြီး calculus ကိုနားလည်အောင်ကြိုးစားကြပါစို့။

အဖြေသည် calculus တွင်သာရှိသည့် အခြေအနေများအနက်မှ တစ်ခုသည် ၎င်း၏ဘက်ခြမ်းရှိ ပြောင်းလဲမှုနှင့်စပ်လျဉ်း၍ cube တစ်ခု၏ ထုထည်၏ပြောင်းလဲမှုနှုန်းကို သိရန်ဖြစ်သည်။ \(dy\) သည် cube တစ်ခု၏ ထုထည်ပြောင်းလဲမှုကို ကိုယ်စားပြုပြီး dx သည် cube ၏ အစွန်းအထင်းများ၏ အပြောင်းအလဲကို ကိုယ်စားပြုပါက၊ ထို့နောက် ဆင်းသက်လာသော ပုံစံကို အသုံးပြု၍ \(^{dy}/_{dx}\) ပုံဖော်ကြည့်ကြပါစို့။ အချိန်နှင့်တပြေးညီ မော်တော်ကား ရွှေ့ပြောင်းခြင်း။ x-axis သည် အချိန်ကိုကိုယ်စားပြုပြီး y သည် ရွေ့ပြောင်းမှုဖြစ်သည်။ အခု အမှတ် (t1၊ y1) မှာ ဘယ်အမြန်နှုန်းကို တွေ့နိုင်မလဲ။

ကားသည် အချိန်ကြားကာလတွင် y2 − y1 အကွာအဝေး x2 − x1 ကိုစစ်ဆေး \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) ၎င်းကို အကွာအဝေး/အချိန်ပြောင်းလဲမှု၊ မြန်နှုန်းအဖြစ်လည်း ရေးသားနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ဤဂရပ်ရှိ မျဉ်း၏ လျှောစောက်သည် အရှိန်ကို ပေးသည်။ \(\Delta t \) အနေဖြင့် ဤဂရပ်ရှိ အမှတ်တစ်ခုတွင် ချက်ချင်းမြန်သော အမြန်နှုန်းကို ရှာဖွေရန် ကျွန်ုပ်တို့ ပိုမိုနီးကပ်လာစေသည်။ အမြန်နှုန်းကိုရှာဖွေရန် အမြန်နှုန်းသည် အကွာအဝေး ∕ အချိန်ပြောင်းလဲမှုနှင့် တူညီသောကြောင့် အမြန်နှုန်းသည် အမှတ်နှစ်ခု လိုအပ်သည်။ အချိန်ကြားကာလကို 0 နီးပါး လျှော့ချခြင်းဖြင့် ဤဖော်မြူလာကို အသုံးပြု၍ ချက်ခြင်းအမြန်နှုန်းကို ရှာဖွေရန် ကြိုးပမ်းနေပါက၊ ကျွန်ုပ်တို့သည် ဤလုပ်ဆောင်ချက်၏ ဆင်းသက်လာခြင်းကို ရယူနေပါသည်။ Derivative သင်ခန်းစာတွင် လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု၏ ဆင်းသက်လာပုံကို သင် သင်ယူမည်ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် ဤဂရပ်ကို y = t ² + 2 ဟု သတ်မှတ်ပါက မည်သည့်အချိန်တွင်မဆို အမြန်နှုန်းသည် 2t (ဆင်းသက်လာသော ပုံသေနည်းဖြင့် ဆင်းသက်လာသည်)။ ယခု သင်သည် အချိန်မရွေး ချက်ချင်းအမြန်နှုန်းကို ရှာဖွေနိုင်ပြီဖြစ်သည်။

ဆင့်ပွားရှာဖွေခြင်းလုပ်ငန်းစဉ်ကို ကွဲပြားခြင်းဟုခေါ်သည်။ function တစ်ခုရဲ့ ဆင်းသက်လာမှုက y = f(x) ဖြစ်ပါစေ။ ၎င်းသည် variable x ၏ပြောင်းလဲမှုနှင့်စပ်လျဉ်း၍ y တန်ဖိုးပြောင်းလဲသွားသည့်နှုန်းကို တိုင်းတာခြင်းဖြစ်သည်။ variable x နှင့်စပ်လျဉ်း၍ function “f” ၏ ဆင်းသက်လာခြင်းဟု လူသိများသည်။

x တွင် အဆုံးမရှိ ပြောင်းလဲမှုတစ်ခုကို dx အဖြစ် ရည်ညွှန်းပါက၊ x နှင့်စပ်လျဉ်း၍ y ၏ ဆင်းသက်လာခြင်းကို dy ∕ dx ဟု ရေးထားသည်။

တစ်နာရီ ကီလိုမီတာ 30 နှုန်းဖြင့် သွားလာနိုင်သော ကားတစ်စီး။ 4 နာရီကြာ မောင်းနှင်ပါက ခရီးအကွာအဝေးမှာ 30×4 = 120 ကီလိုမီတာဖြစ်သည်။ ဒါပေမယ့် ဒီနေရာမှာ မေးစရာရှိတာက ကားတစ်စီးဟာ 30km∕hour အမြန်နှုန်းနဲ့ ပြေးနိုင်သလား။ မဟုတ်ပါ၊ လမ်းတွင် ယာဉ်အသွားအလာအချက်ပြများ၊ အဖုအထစ်များ ရှိမည်ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါက အရှိန်သည် ကွဲပြားသွားမည်ဖြစ်သည်။ ဒီတော့ အခုအချိန်မှာ တူညီတဲ့ပြဿနာက ရှုပ်ထွေးလာပါပြီ၊ အမျိုးမျိုးသောအမြန်နှုန်းနဲ့ မောင်းနှင်နေတဲ့ သီးခြားအကွာအဝေးကို ဘယ်လိုဆုံးဖြတ်ရမလဲ။

ဤပြဿနာသည် calculus တွင် အဖြေတစ်ခုရှိသည်။ အချိန်နှင့်စပ်လျဉ်း၍ ကား၏ အရှိန်အဟုန်၏ အဓိကကျသော ကိန်းဂဏာန်းကို တိုင်းတာခြင်းဖြင့် ကား၏ စုစုပေါင်း ရွေ့ပြောင်းမှုကို တွေ့ရှိနိုင်သည်။

အချိန်နှင့်စပ်လျဉ်းပြီး အမြန်နှုန်းကို ရေးဆွဲထားသည့် အခြားဂရပ်တစ်ခုကို သုံးသပ်ကြည့်ကြစို့။ ကားတစ်စီးသည် time interval t2− t1 တွင် မည်ရွေ့ရွေ့သွားသည်ကို ရှာဖွေလိုပါက အကွာအဝေးမှာ speed × time ဖြစ်ပြီး ၊ အမှတ် t1 နှင့် t2 ကြားမျဉ်းကွေးအောက်ရှိ ဧရိယာဖြစ်သည်။

ဧရိယာကိုရရှိရန် ကျွန်ုပ်တို့သည် integral calculus ကိုအသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ speed s သည် time t ၏ function ဖြစ်သည်၊ ဆိုလိုသည်မှာ S = F(t) ဆိုလျှင် integral ကို အသုံးပြု၍ ဤအပိုင်း၏ ဧရိယာ \(F(t) = \int s\cdot dt\) အဖြစ် ရှာနိုင်သည်။ ဤမျဉ်းကွေးအောက်ရှိ ဧရိယာကို ရှာဖွေရန် ကျွန်ုပ်တို့သည် လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု၏ ပေါင်းစပ်မှုကို ရယူသည်။ မည်သို့လုပ်ဆောင်ရမည်ကို ပေါင်းစပ်သင်ခန်းစာတွင် သင်ယူရမည်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ဤဂရပ်သည် လုပ်ဆောင်ချက် y = x ² ကို ဆွဲချပါက အချိန်အတွက် မျဉ်းကွေးအောက်ရှိ ဧရိယာ t1= 1 မှ t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (C သည် ကိန်းသေတစ်ခုဖြစ်ပြီး) = 7/3

ပေါင်းစည်းခြင်းသည် တစ်ခုလုံးကိုရှာဖွေရန် အစိတ်အပိုင်းများကို ပေါင်းထည့်ခြင်း သို့မဟုတ် အနှစ်ချုပ်ခြင်းနည်းလမ်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ကျွန်ုပ်တို့သည် လုပ်ဆောင်ချက်များကို အစိတ်အပိုင်းများအဖြစ် လျှော့ချပေးသည့် ကွဲပြားခြင်း၏ ပြောင်းပြန်ဖြစ်စဉ်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကျယ်ပြောသောစကေးအောက်တွင် ပေါင်းစည်းခြင်းကို ရှာဖွေရန် Integral ကိုအသုံးပြုသည်။ ထပ်တိုးပြဿနာငယ်များကို တွက်ချက်ခြင်းအား ကိုယ်တိုင် သို့မဟုတ် ဂဏန်းပေါင်းစက်များဖြင့် လုပ်ဆောင်နိုင်သော်လည်း ကန့်သတ်ချက်များသည် အဆုံးမရှိအထိပင် ရောက်ရှိနိုင်သည့် ကြီးမားသော ထပ်လောင်းပြဿနာများအတွက် ပေါင်းစည်းမှုနည်းလမ်းများကို အသုံးပြုပါသည်။

ကန့်သတ်ချက် တစ်ခုသည် ကျွန်ုပ်တို့အား ပေးထားသောအမှတ်တစ်ဝိုက်တွင် လုပ်ဆောင်ချက်တစ်ခု၏သဘောထားကို ဆန်းစစ်နိုင်စေပါသည်။ အောက်မှာ function ကိုကြည့်ရအောင်။
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
၎င်း၏ ပိုင်းခြေသည် x=1 တွင် သုညဖြစ်သောကြောင့်၊ f(1) သည် မသတ်မှတ်ရသေးသော်လည်း x=1 တွင် ၎င်း၏ကန့်သတ်ချက် ရှိနေပြီး လုပ်ဆောင်ချက်တန်ဖိုးသည် 2 အနီးသို့ ရောက်သွားကြောင်း ညွှန်ပြနေသည်။
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)