क्याल्कुलस भनेको चीजहरू कसरी परिवर्तन हुन्छ भन्ने अध्ययन हो। यसले परिवर्तनको अध्ययन गर्न र त्यस्ता परिवर्तनका लागि भविष्यवाणीहरू निकाल्नको लागि एक रूपरेखा प्रदान गर्दछ। क्याल्कुलस बुझ्नको लागि तपाईसँग दुईवटा चीजहरू बुझ्न आवश्यक छ - संख्या र प्रकार्यहरू! क्याल्कुलसले हामीलाई प्रकार्यद्वारा सम्बन्धित मानहरू बीचको परिवर्तनहरू बुझ्न मद्दत गर्दछ।
उदाहरणका लागि, संक्रामक रोगको फैलावटको अध्ययनमा, हामी क्याल्कुलसमा धेरै भरोसा गर्छौं। तीन मुख्य कारकहरूलाई ध्यानमा राखिएको छ,
यी तीन चरहरूको साथ, क्याल्कुलस रोग कति टाढा र छिटो फैलिरहेको छ, यो कहाँबाट उत्पन्न भएको हो, र यसको उपचार गर्ने उत्तम तरिका के हो भनेर निर्धारण गर्न प्रयोग गर्न सकिन्छ। संक्रमण र रिकभरी को दर समय संग परिवर्तन को रूप मा, त्यसैले समीकरणहरु हरेक दिन विकसित नयाँ मोडेल प्रतिक्रिया गर्न पर्याप्त गतिशील हुनुपर्छ। यी धेरै सूत्रहरू समयका कार्यहरू हुन्, र क्यालकुलसको बारेमा सोच्ने एउटा तरिका यसलाई समयको कार्यहरूको अध्ययनको रूपमा हेर्नु हो।
समयको सन्दर्भमा परिमाणहरू परिवर्तन गर्ने समस्यालाई सम्बोधन गर्न, क्यालकुलससँग तीनवटा उपकरणहरू छन्:
(1) सीमाहरू, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : एउटा सीमाले कुनै प्रकार्यको इनपुटहरू केही संख्याको नजिक र नजिक हुँदा प्रकार्यमा पुग्ने मान दिन्छ। सीमाहरू एक प्रकार्यले मानमा कसरी पुग्छ भनेर वर्णन गर्ने उपकरणहरू हुन्
(२) व्युत्पन्नहरू, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : यो चरको सन्दर्भमा प्रकार्यको परिवर्तनको दर हो। व्युत्पन्नले कार्य कसरी परिवर्तन गर्छ भनेर वर्णन गर्दछ
(३) अविभाज्य, \(\int f(x)dx\) : निरन्तर क्षेत्रको क्षेत्रफल, भोल्युम पत्ता लगाउनको लागि असीमित टुक्राहरूको संक्षेपसँग मेल खान्छ। प्रकार्यको वक्र मुनिको अभिन्न व्युत्पन्न क्षेत्र
यी सबै उपकरणहरू एकअर्कासँग सम्बन्धित छन्। व्युत्पन्नहरू सीमाबाट बनाइन्छ र एक अभिन्न व्युत्पन्नको व्युत्क्रम हो।
क्यालकुलसको औपचारिक अध्ययन 17 औं शताब्दीमा आइज्याक न्यूटन र गोटफ्राइड लिबनी जस्ता प्रसिद्ध वैज्ञानिकहरू र गणितज्ञहरूद्वारा सुरु भएको थियो। यो एक गणितीय अनुशासन हो जुन मुख्य रूपमा कार्यहरू, सीमाहरू, व्युत्पन्नहरू, र अभिन्नहरूसँग सम्बन्धित छ। क्याल्कुलसका २ फरक क्षेत्रहरू छन्। पहिलो उपक्षेत्रलाई विभेदक क्याल्कुलस भनिन्छ। प्रकार्य डेरिभेटिभहरूको अवधारणा प्रयोग गरेर, यसले विभिन्न मात्राहरू कसरी परिवर्तन हुन्छ भन्ने व्यवहार र दरको अध्ययन गर्दछ। भिन्नताको प्रक्रिया प्रयोग गरेर, प्रकार्यको ग्राफलाई वास्तवमा गणना, विश्लेषण र भविष्यवाणी गर्न सकिन्छ। दोस्रो उपक्षेत्र भनिन्छ अभिन्न गणना । एकीकरण वास्तवमा भिन्नताको उल्टो प्रक्रिया हो, एन्टी-डेरिभेटिभको अवधारणासँग सम्बन्धित छ।
तपाईं वास्तविक संसारमा क्यालकुलस कहिले प्रयोग गर्नुहुन्छ? यो इष्टतम समाधानमा पुग्नको लागि गणितीय मोडेलहरू सिर्जना गर्न प्रयोग गरिन्छ। उदाहरण को लागी,
- भौतिकशास्त्रमा, क्यालकुलसको अवधारणा गति, बिजुली, ताप, प्रकाश, हर्मोनिक्स, ध्वनिक, खगोल विज्ञान, गतिशीलता, विद्युत चुम्बकत्व र आइन्स्टाइनको सापेक्षता सिद्धान्तमा क्याल्कुलस प्रयोग गरिन्छ।
- रसायन विज्ञानमा, क्यालकुलस प्रतिक्रिया दर र रेडियोधर्मी क्षय जस्ता कार्यहरू भविष्यवाणी गर्न प्रयोग गर्न सकिन्छ।
- जीवविज्ञानमा, यसलाई जन्म र मृत्यु दर जस्ता दरहरू बनाउन प्रयोग गरिन्छ।
- अर्थशास्त्रमा, क्याल्कुलसलाई सीमान्त लागत र सीमान्त राजस्व गणना गर्न प्रयोग गरिन्छ, जसले अर्थशास्त्रीहरूलाई एक विशेष सेटिङमा अधिकतम लाभको भविष्यवाणी गर्न सक्षम पार्छ।
केही उदाहरणहरू प्रयोग गरेर क्याल्कुलस बुझ्ने प्रयास गरौं:
एक परिदृश्य जहाँ समाधान मात्र क्यालकुलसमा छ, यसको पक्षहरूमा परिवर्तनको सन्दर्भमा घनको आयतनको परिवर्तनको दर जान्न हो। यदि \(dy\) ले घनको भोल्युमको परिवर्तनलाई प्रतिनिधित्व गर्दछ र dx ले घनको पक्षहरूको परिवर्तनलाई प्रतिनिधित्व गर्दछ भने, हामी व्युत्पन्न रूप \(^{dy}/_{dx}\) प्रयोग गर्न सक्छौं। हामी प्लट गरौं। समयको सन्दर्भमा कार विस्थापन। x-अक्षले समयलाई जनाउँछ र y विस्थापन हो। अब तपाईंले बिन्दु (t1,y1) मा गति के थियो पत्ता लगाउन सक्नुहुन्छ?
फिगर २ जाँच गर्नुहोस्, यदि कारले दूरी y2 − y1 लाई समय अन्तराल x2 − x1 मा कभर गर्छ भने, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) यसलाई दूरीमा परिवर्तन/समयमा परिवर्तनको रूपमा पनि लेख्न सकिन्छ, जुन गति हो। त्यसैले यो ग्राफमा रेखाको कुनै पनि ढलानले गति दिन्छ। \(\Delta t \) लाई कम गर्दा हामी यस ग्राफमा एक बिन्दुमा तात्कालिक गति पत्ता लगाउन नजिक पुग्छौं। गति पत्ता लगाउन हामीलाई दुई बिन्दुहरू चाहिन्छ किनकि गति दूरीमा परिवर्तन ∕ समयमा परिवर्तन बराबर हुन्छ। यदि तपाइँ यो सूत्र प्रयोग गरेर तात्कालिक गति पत्ता लगाउने प्रयास गर्दै हुनुहुन्छ भने समय अन्तराललाई लगभग ० मा घटाएर, हामी यस प्रकार्यको व्युत्पन्न गर्दैछौं। तपाईंले व्युत्पन्न पाठमा प्रकार्यको व्युत्पन्न कसरी प्राप्त गर्ने भनेर सिक्नुहुनेछ।
त्यसैले यदि यो ग्राफ y = t 2 + 2 को रूपमा परिभाषित गरिएको छ भने कुनै पनि समयमा गति 2t हुनेछ (व्युत्पन्न सूत्र प्रयोग गरेर व्युत्पन्न)। अब तपाईं कुनै पनि समयमा तत्काल गति पाउन सक्नुहुन्छ।
व्युत्पन्न पत्ता लगाउने प्रक्रियालाई भिन्नता भनिन्छ। मानौं, प्रकार्यको व्युत्पन्न y = f(x) हो। यो चर x को परिवर्तनको सन्दर्भमा y को मान परिवर्तन हुने दरको मापन हो। यो चल x को सन्दर्भमा, प्रकार्य "f" को व्युत्पन्न रूपमा चिनिन्छ।
यदि x मा असीमित परिवर्तनलाई dx भनिन्छ भने, x को सन्दर्भमा y को व्युत्पन्न dy ∕ dx लेखिन्छ।
३० किलोमिटर प्रति घण्टाको गतिमा यात्रा गर्ने कार। यदि यो 4 घण्टाको लागि चल्छ भने, यात्रा गरिएको दूरी 30 × 4 = 120 किमी हुन्छ। तर यहाँ प्रश्न उठ्छ, के एउटा कार ३० किलोमिटर प्रतिघण्टाको गतिमा चल्न सक्छ? होइन, सडकमा ट्राफिक सिग्नल, बम्प र घुमाउने कुरालाई ध्यानमा राखेर गति फरक हुने गरेको छ। त्यसोभए अब उही समस्या जटिल बन्दै गएको छ, फरक गतिमा दौडिरहेको एक विशेष क्षणमा कारले यात्रा गरेको दूरी कसरी निर्धारण गर्ने?
यो समस्याको समाधान क्यालकुलसमा छ! कारको कुल विस्थापन समयको सन्दर्भमा कारको वेगको अभिन्न अंग लिएर पत्ता लगाउन सकिन्छ।
हामी अर्को ग्राफलाई विचार गरौं जहाँ समयको सन्दर्भमा गति प्लट गरिएको छ। यदि हामी कारले समय अन्तराल t2− t1 मा कति दूरी यात्रा गर्यो पत्ता लगाउन चाहन्छौं भने, दूरी गति × समय हो , जुन दुई बिन्दु t1 र t2 बीचको कर्भ तलको क्षेत्र हो।
क्षेत्र निकाल्न हामी अभिन्न क्याल्कुलस प्रयोग गर्छौं। यदि गति s समय t को एक प्रकार्य हो, अर्थात् S = F(t) तब integral प्रयोग गरेर हामी यस भागको क्षेत्रफल \(F(t) = \int s\cdot dt\) रूपमा फेला पार्न सक्छौं। यस वक्र मुनिको क्षेत्र पत्ता लगाउन हामीले प्रकार्यको एकीकरण प्राप्त गर्छौं। त्यो कसरी गर्ने भनेर तपाईले अभिन्न पाठमा सिक्नुहुनेछ। यदि यो ग्राफले प्रकार्य y = x 2 प्लट गर्छ भने t1= 1 देखि t2= 2 समयको वक्र मुनिको क्षेत्रफल \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (जहाँ C स्थिर छ) = 7/3
एकीकरण सम्पूर्ण फेला पार्नका लागि भागहरू थप्ने वा संक्षेप गर्ने विधि हो। यो भिन्नताको उल्टो प्रक्रिया हो, जहाँ हामी कार्यहरूलाई भागहरूमा घटाउँछौं। Integral को एक विशाल स्केल अन्तर्गत योगफल पत्ता लगाउन प्रयोग गरिन्छ। साना थप समस्याहरूको गणना म्यानुअल रूपमा वा क्यालकुलेटरहरूद्वारा गर्न सकिन्छ, तर ठूलो थप समस्याहरूको लागि, जहाँ सीमाहरू अनन्तसम्म पुग्न सक्छ, एकीकरण विधिहरू प्रयोग गरिन्छ।
सीमाले हामीलाई बिन्दुमा प्रकार्य परिभाषित नगरेको बेला पनि दिइएको बिन्दुको वरिपरि प्रकार्यको प्रवृत्ति जाँच गर्न अनुमति दिन्छ। तलको प्रकार्य हेरौं।
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
x=1, f(1) अपरिभाषित हुँदा यसको भाजक शून्य भएको हुनाले, यद्यपि, x=1 मा यसको सीमा अवस्थित छ र त्यहाँ प्रकार्य मान 2 पुग्छ भनी संकेत गर्छ।
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
