Calculus is de studie van hoe dingen veranderen. Het biedt een raamwerk om de verandering te bestuderen en om voorspellingen voor een dergelijke verandering af te leiden. Om calculus te begrijpen, moet u twee dingen begrijpen: getallen en functies! Calculus helpt ons veranderingen te begrijpen tussen waarden die gerelateerd zijn door een functie.
Bij de studie van de verspreiding van besmettelijke ziekten zijn we bijvoorbeeld sterk afhankelijk van calculus. Er wordt rekening gehouden met drie belangrijke factoren,
Met deze drie variabelen kan calculus worden gebruikt om te bepalen hoe ver en snel een ziekte zich verspreidt, waar deze vandaan komt en wat de best mogelijke manier is om deze te behandelen. Aangezien de infectie- en herstelcijfers in de loop van de tijd veranderen, moeten de vergelijkingen dynamisch genoeg zijn om te reageren op de nieuwe modellen die elke dag evolueren. Veel van deze formules zijn functies van tijd, en een manier om over calculus te denken is om het te zien als een studie van functies van tijd.
Om het probleem van veranderende hoeveelheden in de tijd aan te pakken, heeft calculus drie hulpmiddelen:
(1) Limieten, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Een limiet geeft de waarde die een functie nadert naarmate de invoer van die functie steeds dichter bij een bepaald getal komt. Limieten zijn hulpmiddelen om te beschrijven hoe een functie een waarde benadert
(2) Derivaten, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Het is de veranderingssnelheid van een functie ten opzichte van een variabele. Afgeleide beschrijft hoe een functie verandert
(3) Integraal, \(\int f(x)dx\) : Komt overeen met het optellen van oneindig kleine stukjes om de oppervlakte, het volume van een continu gebied te vinden. Integraal afgeleid gebied onder een curve van een functie
Al deze tools zijn aan elkaar gerelateerd. Afgeleiden zijn opgebouwd uit limieten en een integraal is het omgekeerde van een afgeleide.
De formele studie van calculus begon in de 17e eeuw door bekende wetenschappers en wiskundigen zoals Isaac Newton en Gottfried Leibni. Het is een wiskundige discipline die zich voornamelijk bezighoudt met functies, limieten, afgeleiden en integralen. Er zijn 2 verschillende rekengebieden. Het eerste subveld wordt differentiaalrekening genoemd. Met behulp van het concept van functie-afgeleiden bestudeert het het gedrag en de snelheid van hoe verschillende grootheden veranderen. Met behulp van het differentiatieproces kan de grafiek van een functie daadwerkelijk worden berekend, geanalyseerd en voorspeld. Het tweede subveld wordt aangeroepen integrale berekening . Integratie is eigenlijk het omgekeerde proces van differentiatie, dat zich bezighoudt met het concept van de primitieve.
Wanneer gebruik je calculus in de echte wereld? Het wordt gebruikt om wiskundige modellen te maken om tot een optimale oplossing te komen. Bijvoorbeeld,
- In de natuurkunde wordt het concept van calculus gebruikt in beweging, elektriciteit, warmte, licht, harmonischen, akoestiek, astronomie, dynamica, elektromagnetisme en de relativiteitstheorie van Einstein.
- In de chemie kan calculus worden gebruikt om functies zoals reactiesnelheden en radioactief verval te voorspellen.
- In de biologie wordt het gebruikt om cijfers te formuleren zoals geboorte- en sterftecijfers.
- In de economie wordt calculus gebruikt om marginale kosten en marginale inkomsten te berekenen, waardoor economen de maximale winst in een specifieke omgeving kunnen voorspellen.
Laten we proberen calculus te begrijpen aan de hand van een paar voorbeelden:
Een van de scenario's waarbij de oplossing alleen in calculus is, is om de veranderingssnelheid van het volume van een kubus te kennen met betrekking tot de verandering in de zijkanten. Als \(dy\) de verandering van het volume van een kubus voorstelt en dx de verandering van zijden van de kubus vertegenwoordigt, dan kunnen we de afgeleide vorm \(^{dy}/_{dx}\) gebruiken. Laten we de verplaatsing van de auto in de tijd. De x-as stelt de tijd voor en de y de verplaatsing. Kun je nu vinden wat de snelheid was op punt (t1,y1)?
Zie figuur 2, als de auto afstand y2 − y1 aflegt met tijdsinterval x2 − x1 dan, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Dit kan ook worden geschreven als een verandering in afstand/verandering in tijd, wat snelheid is. Dus elke helling van een lijn in deze grafiek geeft snelheid. als \(\Delta t \) verkleinen komen we dichter bij het vinden van de momentane snelheid op een punt in deze grafiek. Om snelheid te vinden hebben we twee punten nodig, aangezien snelheid gelijk is aan de verandering in afstand ∕ verandering in tijd. Als je met deze formule de momentane snelheid probeert te vinden door het tijdsinterval tot bijna 0 te verkleinen, dan leiden we de afgeleide van deze functie af. In de les Afgeleiden leer je hoe je een afgeleide van een functie afleidt.
Dus als deze grafiek is gedefinieerd als y = t 2 + 2 , dan is de snelheid op elk moment 2t (afgeleid met afgeleide formule). Nu kunt u op elk moment de momentane snelheid vinden.
Het proces van het vinden van de afgeleiden wordt differentiatie genoemd. Stel, de afgeleide van een functie is y = f(x). Het is de maat voor de snelheid waarmee de waarde van y verandert ten opzichte van de verandering van de variabele x. Het staat bekend als de afgeleide van de functie "f", met betrekking tot de variabele x.
Als een oneindig kleine verandering in x wordt aangeduid als dx, dan wordt de afgeleide van y met betrekking tot x geschreven als dy ∕ dx.
Een auto die 30 km per uur rijdt. Rijdt hij 4 uur dan is de afgelegde afstand 30 × 4 = 120 km. Maar hier is de vraag: kan een auto met een constante snelheid van 30 km∕uur rijden? Nee, aangezien de weg verkeerslichten, hobbels en bochten zal hebben, zal de snelheid variëren. Dus nu wordt hetzelfde probleem complex, want hoe bepaal je de afstand die is afgelegd door een auto op een bepaald moment die met verschillende snelheden reed?
Dit probleem heeft een oplossing in calculus! De totale verplaatsing van de auto kan worden gevonden door de integraal van de snelheid van de auto te nemen ten opzichte van de tijd.
Laten we eens kijken naar een andere grafiek waarin de snelheid is uitgezet ten opzichte van de tijd. Als we willen weten hoeveel afstand de auto heeft afgelegd in tijdsinterval t2−t1, dan is de afstand snelheid × tijd , het gebied onder de curve tussen twee punten t1 en t2.
Om de oppervlakte af te leiden gebruiken we integraalrekening. Als snelheid s een functie is van tijd t, dwz S = F(t) dan kunnen we met integraal de oppervlakte van dit gedeelte vinden als \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Om het gebied onder deze curve te vinden, leiden we de integratie van een functie af. Hoe je dat doet leer je in de integrale les. Als deze grafiek de functie y = x 2 uitzet, dan is de oppervlakte onder de curve voor tijd t1= 1 tot t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (waarbij C een constante is) = 7/3
Integratie is een methode om de delen op te tellen of op te tellen om het geheel te vinden. Het is een omgekeerd proces van differentiatie, waarbij we de functies in delen terugbrengen. Integraal wordt gebruikt om de som onder een grote schaal te vinden. Berekening van kleine optelproblemen kan handmatig of met rekenmachines worden gedaan, maar voor grote optelproblemen, waarbij de limieten tot oneindig kunnen reiken, worden integratiemethoden gebruikt.
Met een limiet kunnen we de tendens van een functie rond een bepaald punt onderzoeken, zelfs als de functie op dat punt niet is gedefinieerd. Laten we eens kijken naar de onderstaande functie.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Aangezien de noemer nul is wanneer x=1, is f(1) ongedefinieerd, maar de limiet bij x=1 bestaat en geeft aan dat de functiewaarde daar 2 benadert.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
