Rachunek różniczkowy to nauka o tym, jak rzeczy się zmieniają. Zapewnia ramy do badania zmiany i wnioskowania o przewidywaniach dla takiej zmiany. Aby zrozumieć rachunek różniczkowy, musisz zrozumieć dwie rzeczy - liczby i funkcje! Rachunek różniczkowy pomaga nam zrozumieć zmiany między wartościami, które są powiązane funkcją.
Na przykład w badaniu rozprzestrzeniania się chorób zakaźnych w dużym stopniu polegamy na rachunku różniczkowym. Pod uwagę brane są trzy główne czynniki,
Dzięki tym trzem zmiennym rachunek różniczkowy może być użyty do określenia, jak daleko i szybko rozprzestrzenia się choroba, skąd się wzięła i jaki jest najlepszy możliwy sposób jej leczenia. Ponieważ wskaźniki infekcji i powrotu do zdrowia zmieniają się w czasie, równania muszą być wystarczająco dynamiczne, aby reagować na nowe modele ewoluujące każdego dnia. Wiele z tych formuł to funkcje czasu, a jednym ze sposobów myślenia o rachunku różniczkowym jest postrzeganie go jako badania funkcji czasu.
Aby rozwiązać problem zmiany ilości w czasie, rachunek różniczkowy ma trzy narzędzia:
(1) Granice, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Granica określa wartość, do której dąży funkcja, gdy dane wejściowe tej funkcji zbliżają się coraz bardziej do pewnej liczby. Granice to narzędzia opisujące, w jaki sposób funkcja zbliża się do wartości
(2) Pochodne, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Jest to tempo zmian funkcji względem zmiennej. Pochodna opisuje, jak zmienia się funkcja
(3) Całka, \(\int f(x)dx\) : Odpowiada sumowaniu nieskończenie małych elementów w celu znalezienia pola powierzchni i objętości obszaru ciągłego. Obszar wyliczenia całki pod krzywą funkcji
Wszystkie te narzędzia są ze sobą powiązane. Pochodne są zbudowane z granic, a całka jest odwrotnością pochodnej.
Formalne badanie rachunku różniczkowego zostało zapoczątkowane w XVII wieku przez znanych naukowców i matematyków, takich jak Isaac Newton i Gottfried Leibni. Jest to dyscyplina matematyczna zajmująca się przede wszystkim funkcjami, granicami, pochodnymi i całekami. Istnieją 2 różne dziedziny rachunku różniczkowego. Pierwsza poddziedzina nazywana jest rachunkiem różniczkowym. Korzystając z koncepcji pochodnych funkcji, bada zachowanie i tempo zmian różnych wielkości. Korzystając z procesu różniczkowania, wykres funkcji można faktycznie obliczyć, przeanalizować i przewidzieć. Drugie podpole to tzw rachunek całkowy . Integracja jest w rzeczywistości procesem odwrotnym do różniczkowania, związanym z koncepcją funkcji pierwotnej.
Kiedy używasz rachunku różniczkowego w prawdziwym świecie? Służy do tworzenia modeli matematycznych w celu znalezienia optymalnego rozwiązania. Na przykład,
- W fizyce pojęcie rachunku różniczkowego jest używane w ruchu, elektryczności, cieple, świetle, harmonicznych, akustyce, astronomii, dynamice, elektromagnetyzmie, a teoria względności Einsteina używa rachunku różniczkowego.
- W chemii rachunek różniczkowy można wykorzystać do przewidywania funkcji, takich jak szybkość reakcji i rozpad promieniotwórczy.
- W biologii jest używany do formułowania wskaźników, takich jak wskaźniki urodzeń i zgonów.
- W ekonomii rachunek różniczkowy jest używany do obliczania kosztów krańcowych i przychodów krańcowych, umożliwiając ekonomistom przewidywanie maksymalnego zysku w określonych warunkach.
Spróbujmy zrozumieć rachunek różniczkowy na kilku przykładach:
Jednym ze scenariuszy, w których rozwiązanie jest tylko w rachunku różniczkowym, jest znajomość szybkości zmiany objętości sześcianu w odniesieniu do zmiany jego boków. Jeśli \(dy\) reprezentuje zmianę objętości sześcianu, a dx oznacza zmianę boków sześcianu, to możemy użyć postaci pochodnej \(^{dy}/_{dx}\) . przemieszczenie samochodu względem czasu. Oś x reprezentuje czas, a y to przemieszczenie. Czy potrafisz teraz określić, jaka była prędkość w punkcie (t1,y1)?
Sprawdź rysunek 2, jeśli samochód pokonuje drogę y2 − y1 w przedziale czasu x2 − x1, to \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Można to również zapisać jako zmianę odległości/zmianę czasu, czyli prędkość. Więc każde nachylenie linii na tym wykresie daje prędkość. zmniejszając \(\Delta t \) zbliżamy się do znalezienia prędkości chwilowej w punkcie na tym wykresie. Aby znaleźć prędkość potrzebujemy dwóch punktów, ponieważ prędkość jest równa zmianie odległości ∕ zmianie w czasie. Jeśli próbujesz znaleźć chwilową prędkość za pomocą tego wzoru, zmniejszając przedział czasu do prawie 0, wyprowadzamy pochodną tej funkcji. W lekcji Pochodna nauczysz się, jak wyprowadzić pochodną funkcji.
Więc jeśli ten wykres jest zdefiniowany jako y = t 2 + 2 , to prędkość w dowolnym momencie będzie równa 2t (wyprowadzona za pomocą wzoru na pochodną). Teraz możesz znaleźć chwilową prędkość w dowolnym momencie.
Proces znajdowania pochodnych nazywa się różnicowaniem. Niech pochodną funkcji będzie y = f(x). Jest miarą szybkości, z jaką zmienia się wartość y względem zmiany zmiennej x. Jest znany jako pochodna funkcji „f” względem zmiennej x.
Jeśli nieskończenie mała zmiana x jest oznaczona jako dx, to pochodna y względem x jest zapisywana jako dy ∕ dx.
Samochód jadący z prędkością 30 km na godzinę. Jeśli jedzie przez 4 godziny, to przebyta droga wynosi 30 × 4 = 120 km. Ale tutaj pojawia się pytanie, czy samochód może jechać ze stałą prędkością 30 km∕h? Nie, biorąc pod uwagę, że droga będzie miała sygnalizację świetlną, wyboje i zakręty, prędkość będzie się różnić. Więc teraz ten sam problem staje się złożony, jak określić odległość przebytą przez samochód w określonej chwili, który jechał z różnymi prędkościami?
Ten problem ma rozwiązanie w rachunku różniczkowym! Całkowite przemieszczenie samochodu można znaleźć, biorąc całkę prędkości samochodu po czasie.
Rozważmy inny wykres, na którym prędkość jest kreślona w odniesieniu do czasu. Jeśli chcemy znaleźć drogę przebytą przez samochód w przedziale czasu t2− t1, to droga ta to prędkość × czas , czyli pole pod krzywą między dwoma punktami t1 i t2.
Aby wyznaczyć pole, używamy rachunku całkowego. Jeśli prędkość s jest funkcją czasu t, tj. S = F(t), to używając całki możemy znaleźć pole tej części jako \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Aby znaleźć pole pod tą krzywą, wyprowadzamy całkowanie funkcji. Jak to zrobić, dowiesz się z lekcji integralnej. Jeśli ten wykres przedstawia funkcję y = x 2 , to pole pod krzywą dla czasu od t1= 1 do t2= 2 wynosi \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (gdzie C jest stałą) = 7/3
Integracja to metoda dodawania lub sumowania części w celu znalezienia całości. Jest to proces odwrotny do różniczkowania, w którym rozkładamy funkcje na części. Całka służy do znalezienia sumowania w ogromnej skali. Obliczanie małych problemów z dodawaniem można wykonać ręcznie lub za pomocą kalkulatorów, ale w przypadku dużych problemów z dodawaniem, gdzie granice mogą sięgać nawet nieskończoności, stosuje się metody całkowania.
Granica pozwala nam zbadać tendencję funkcji wokół danego punktu, nawet jeśli funkcja nie jest zdefiniowana w tym punkcie. Przyjrzyjmy się poniższej funkcji.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Ponieważ jej mianownik wynosi zero, gdy x=1, f(1) jest niezdefiniowane, jednak jej granica przy x=1 istnieje i wskazuje, że wartość funkcji zbliża się tam do 2.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
