Cálculo é o estudo de como as coisas mudam. Ele fornece uma estrutura para estudar a mudança e deduzir previsões para tal mudança. Para entender o cálculo, você precisa entender duas coisas - números e funções! O cálculo nos ajuda a entender as mudanças entre os valores relacionados por uma função.
Por exemplo, no estudo da disseminação de doenças infecciosas, dependemos fortemente do cálculo. Três fatores principais são levados em consideração,
Com essas três variáveis, o cálculo pode ser usado para determinar a que distância e rapidez uma doença está se espalhando, de onde ela se originou e qual é a melhor maneira possível de tratá-la. Como as taxas de infecção e recuperação mudam com o tempo, as equações devem ser dinâmicas o suficiente para responder aos novos modelos que evoluem todos os dias. Muitas dessas fórmulas são funções do tempo, e uma maneira de pensar em cálculo é vê-lo como um estudo das funções do tempo.
Para resolver o problema da mudança de quantidades em relação ao tempo, o cálculo tem três ferramentas:
(1) Limites, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Um limite dá o valor que uma função se aproxima à medida que as entradas dessa função se aproximam cada vez mais de algum número. Limites são ferramentas para descrever como uma função se aproxima de um valor
(2) Derivadas, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : É a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. Derivada descreve como uma função muda
(3) Integral, \(\int f(x)dx\) : Corresponde à soma de peças infinitesimais para encontrar a área, volume de uma região contínua. Área de derivação integral sob uma curva de uma função
Todas essas ferramentas estão relacionadas umas com as outras. Derivadas são construídas a partir de limites e uma integral é o inverso de uma derivada.
O estudo formal do cálculo começou no século XVII por cientistas e matemáticos conhecidos como Isaac Newton e Gottfried Leibni. É uma disciplina matemática que se preocupa principalmente com funções, limites, derivadas e integrais. Existem 2 campos diferentes de cálculo. O primeiro subcampo é chamado de cálculo diferencial. Usando o conceito de derivadas de função, estuda o comportamento e a taxa de mudança de diferentes quantidades. Usando o processo de diferenciação, o gráfico de uma função pode realmente ser calculado, analisado e previsto. O segundo subcampo é chamado cálculo integral . A integração é, na verdade, o processo inverso da diferenciação, relacionado com o conceito de antiderivada.
Quando você usa cálculo no mundo real? É usado para criar modelos matemáticos para chegar a uma solução ótima. Por exemplo,
- Na física, o conceito de cálculo é usado em movimento, eletricidade, calor, luz, harmônicos, acústica, astronomia, dinâmica, eletromagnetismo e a teoria da relatividade de Einstein usam cálculo.
- Em química, o cálculo pode ser usado para prever funções como taxas de reação e decaimento radioativo.
- Em biologia, é utilizado para formular taxas como taxas de natalidade e mortalidade.
- Em economia, o cálculo é usado para calcular o custo marginal e a receita marginal, permitindo que os economistas prevejam o lucro máximo em um cenário específico.
Vamos tentar entender o cálculo usando alguns exemplos:
Um dos cenários em que a solução está apenas no cálculo é saber a taxa de variação do volume de um cubo em relação à variação de seus lados. Se \(dy\) representa a variação do volume de um cubo e dx representa a variação dos lados do cubo, então podemos usar a forma derivada \(^{dy}/_{dx}\) . deslocamento do carro em relação ao tempo. O eixo x representa o tempo e y é o deslocamento. Agora você consegue descobrir qual era a velocidade no ponto (t1,y1)?
Verifique a figura 2, se o carro percorrer a distância y2 − y1 no intervalo de tempo x2 − x1 então, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Isso também pode ser escrito como uma mudança na distância/mudança no tempo, que é a velocidade. Assim, qualquer inclinação de uma linha neste gráfico dá velocidade. à medida que \(\Delta t \) diminui, chegamos mais perto de encontrar a velocidade instantânea em um ponto desse gráfico. Para encontrar a velocidade, precisamos de dois pontos, pois a velocidade é igual à mudança na distância ∕ mudança no tempo. Se você está tentando encontrar a velocidade instantânea usando esta fórmula reduzindo o intervalo de tempo para quase 0, então estamos derivando a derivada desta função. Você aprenderá como derivar uma derivada de uma função na lição Derivada.
Portanto, se este gráfico for definido como y = t 2 + 2 , a velocidade em qualquer ponto do tempo será 2t (derivada usando a fórmula derivada). Agora você pode encontrar a velocidade instantânea em qualquer ponto no tempo.
O processo de encontrar as derivadas é chamado de diferenciação. Seja a derivada de uma função y = f(x). É a medida da taxa na qual o valor de y muda em relação à mudança da variável x. É conhecida como a derivada da função “f”, em relação à variável x.
Se uma mudança infinitesimal em x é denotada como dx, então a derivada de y em relação a x é escrita como dy ∕ dx.
Um carro que viaja a 30 km por hora. Se ele dirige por 4 horas, a distância percorrida é 30 × 4 = 120 km. Mas aqui a questão é: um carro pode andar a uma velocidade constante de 30 km/hora? Não, considerando que a via terá semáforos, lombadas e curvas a velocidade vai variar. Então agora o mesmo problema se torna complexo, como determinar a distância percorrida por um carro em um determinado instante que estava rodando em velocidades variadas?
Este problema tem solução em cálculo! O deslocamento total do carro pode ser encontrado tomando a integral da velocidade do carro em relação ao tempo.
Vamos considerar outro gráfico em que a velocidade é plotada em relação ao tempo. Se quisermos descobrir a distância que o carro percorreu no intervalo de tempo t2− t1, então a distância é velocidade × tempo , que é a área abaixo da curva entre dois pontos t1 e t2.
Para derivar a área, usamos o cálculo integral. Se a velocidade s é uma função do tempo t, ou seja, S = F(t) então usando a integral podemos encontrar a área desta porção como \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Para encontrar a área sob esta curva derivamos a integração de uma função. Como fazer isso você aprenderá na lição integral. Se este gráfico representa a função y = x 2 , então a área sob a curva para o tempo t1= 1 a t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (onde C é uma constante) = 7/3
A integração é um método de adicionar ou resumir as partes para encontrar o todo. É um processo inverso de diferenciação, onde reduzimos as funções em partes. Integral é usado para encontrar o somatório em uma vasta escala. O cálculo de pequenos problemas de adição pode ser feito manualmente ou por calculadoras, mas para grandes problemas de adição, onde os limites podem chegar ao infinito, métodos de integração são usados.
Um limite nos permite examinar a tendência de uma função em torno de um determinado ponto, mesmo quando a função não está definida no ponto. Vejamos a função abaixo.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Como seu denominador é zero quando x=1, f(1) é indefinido, entretanto, seu limite em x=1 existe e indica que o valor da função se aproxima de 2 ali.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
