Исчисление — это изучение того, как вещи меняются. Он обеспечивает основу для изучения изменений и прогнозирования таких изменений. Чтобы понять исчисление, вам нужно иметь представление о двух вещах — числах и функциях! Исчисление помогает нам понять изменения между значениями, которые связаны функцией.
Например, при изучении распространения инфекционных заболеваний мы в значительной степени полагаемся на исчисление. Учитываются три основных фактора,
С помощью этих трех переменных расчет можно использовать для определения того, насколько далеко и быстро распространяется болезнь, откуда она возникла и каков наилучший способ ее лечения. Поскольку показатели заражения и выздоровления со временем меняются, уравнения должны быть достаточно динамичными, чтобы реагировать на новые модели, которые появляются каждый день. Многие из этих формул являются функциями времени, и один из способов думать об исчислении — рассматривать его как изучение функций времени.
Для решения проблемы изменения величин во времени исчисление имеет три инструмента:
(1) Пределы, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Предел дает значение, к которому функция приближается по мере того, как входные данные этой функции становятся все ближе и ближе к некоторому числу. Пределы — это инструменты для описания того, как функция приближается к значению.
(2) Производные, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : это скорость изменения функции по отношению к переменной. Производная описывает, как функция изменяется
(3) Интеграл, \(\int f(x)dx\) : соответствует суммированию бесконечно малых частей для нахождения площади и объема непрерывной области. Интегральная площадь под кривой функции
Все эти инструменты связаны друг с другом. Производные строятся из пределов, а интеграл — это обратная производная.
Формальное изучение исчисления началось в 17 веке такими известными учеными и математиками, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбни. Это математическая дисциплина, которая в основном занимается функциями, пределами, производными и интегралами. Есть 2 разных области исчисления. Первая подобласть называется дифференциальным исчислением. Используя понятие производных функций, он изучает поведение и скорость изменения различных величин. Используя процесс дифференцирования, график функции можно вычислить, проанализировать и предсказать. Второе подполе называется интегральное исчисление . Интеграция на самом деле является обратным процессом дифференциации, связанным с понятием антипроизводной.
Когда вы используете исчисление в реальном мире? Он используется для создания математических моделей с целью получения оптимального решения. Например,
- В физике понятие исчисления используется в движении, электричестве, тепле, свете, гармониках, акустике, астрономии, динамике, электромагнетизме и теории относительности Эйнштейна.
- В химии исчисление можно использовать для предсказания таких функций, как скорость реакции и радиоактивный распад.
- В биологии он используется для определения таких показателей, как рождаемость и смертность.
- В экономике исчисление используется для расчета предельных издержек и предельного дохода, что позволяет экономистам прогнозировать максимальную прибыль в конкретных условиях.
Давайте попробуем понять исчисление, используя несколько примеров:
Один из сценариев, где решение находится только в исчислении, состоит в том, чтобы знать скорость изменения объема куба по отношению к изменению его сторон. Если \(dy\) представляет собой изменение объема куба, а dx представляет изменение сторон куба, то мы можем использовать производную форму \(^{dy}/_{dx}\) . Построим график перемещение автомобиля по времени. Ось x представляет время, а y - смещение. Теперь можете ли вы найти скорость в точке (t1,y1)?
Проверьте рисунок 2, если автомобиль преодолевает расстояние y2 − y1 за интервал времени x2 − x1, то \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Это также можно записать как изменение расстояния/изменение времени, то есть скорость. Таким образом, любой наклон линии на этом графике дает скорость. по мере уменьшения \(\Delta t \) мы приближаемся к нахождению мгновенной скорости в точке на этом графике. Чтобы найти скорость, нам нужно две точки, так как скорость равна изменению расстояния / изменению времени. Если вы пытаетесь найти мгновенную скорость по этой формуле, уменьшая интервал времени почти до 0, то мы получаем производную этой функции. Вы узнаете, как получить производную функции на уроке «Производная».
Таким образом, если этот график определить как y = t 2 + 2 , то скорость в любой момент времени будет равна 2t (полученная с использованием формулы производной). Теперь вы можете найти мгновенную скорость в любой момент времени.
Процесс нахождения производных называется дифференцированием. Пусть производная функции равна y = f(x). Это мера скорости, с которой значение у изменяется по отношению к изменению переменной х. Он известен как производная функции «f» по переменной x.
Если бесконечно малое изменение x обозначается как dx, то производная y по x записывается как dy ∕ dx.
Автомобиль, который едет со скоростью 30 км в час. Если он едет 4 часа, то пройденное расстояние равно 30 × 4 = 120 км. Но вот вопрос, может ли автомобиль двигаться с постоянной скоростью 30км/час? Нет, учитывая, что на дороге будут светофоры, неровности и повороты, скорость будет разной. Итак, теперь та же проблема становится сложной: как определить расстояние, пройденное автомобилем в конкретный момент времени, когда он двигался с различной скоростью?
Эта задача имеет решение в исчислении! Полное перемещение автомобиля можно найти, взяв интеграл от скорости автомобиля по времени.
Давайте рассмотрим другой график, на котором скорость построена по отношению ко времени. Если мы хотим найти расстояние, пройденное автомобилем за интервал времени t2 − t1, то расстояние равно скорости × времени , то есть площади под кривой между двумя точками t1 и t2.
Для получения площади используем интегральное исчисление. Если скорость s есть функция времени t, т.е. S = F(t), то с помощью интеграла можно найти площадь этого участка как \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Чтобы найти площадь под этой кривой, мы получаем интегрирование функции. Как это сделать вы узнаете на интегральном уроке. Если на этом графике изображена функция y = x 2 , то площадь под кривой для времени от t1= 1 до t2= 2 равна \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (где C — константа) = 7/3
Интеграция — это метод сложения или суммирования частей для нахождения целого. Это обратный процесс дифференциации, когда мы сводим функции к частям. Интеграл используется для нахождения суммы по большому масштабу. Расчет небольших задач на сложение можно выполнить вручную или с помощью калькуляторов, но для больших задач на сложение, где пределы могут достигать даже бесконечности, используются методы интегрирования.
Предел позволяет нам исследовать тенденцию функции вокруг заданной точки, даже если функция не определена в этой точке. Давайте посмотрим на функцию ниже.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Однако, поскольку ее знаменатель равен нулю при x=1, f(1) не определена, ее предел при x=1 существует и указывает, что значение функции приближается к 2.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
