Llogaritja është studimi se si ndryshojnë gjërat. Ai siguron një kornizë për të studiuar ndryshimin dhe për të nxjerrë parashikime për një ndryshim të tillë. Për të kuptuar llogaritjen, duhet të kuptoni dy gjëra - numrat dhe funksionet! Llogaritja na ndihmon të kuptojmë ndryshimet midis vlerave që lidhen me një funksion.
Për shembull, në studimin e përhapjes së sëmundjeve infektive, ne mbështetemi shumë në llogaritjet. Tre faktorë kryesorë merren parasysh,
Me këto tre variabla, llogaritjet mund të përdoren për të përcaktuar se sa larg dhe shpejt po përhapet një sëmundje, nga e ka origjinën dhe cila është mënyra më e mirë e mundshme për ta trajtuar atë. Ndërsa normat e infeksionit dhe rikuperimit ndryshojnë me kalimin e kohës, kështu që ekuacionet duhet të jenë mjaft dinamike për t'iu përgjigjur modeleve të reja që evoluojnë çdo ditë. Shumë nga këto formula janë funksione të kohës, dhe një mënyrë për të menduar për llogaritjen është ta shohim atë si një studim të funksioneve të kohës.
Për të trajtuar problemin e ndryshimit të sasive në lidhje me kohën, llogaritja ka tre mjete:
(1) Limitet, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Një limit jep vlerën që i afrohet një funksioni ndërsa hyrjet e atij funksioni i afrohen gjithnjë e më shumë një numri. Limitet janë mjete për të përshkruar se si një funksion i afrohet një vlere
(2) Derivatet, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Është shpejtësia e ndryshimit të një funksioni në lidhje me një ndryshore. Derivati përshkruan se si ndryshon një funksion
(3) Integral, \(\int f(x)dx\) : Korrespondon me mbledhjen e copave infiniteminale për të gjetur sipërfaqen, vëllimin e një rajoni të vazhdueshëm. Zona e derivuar integrale nën një kurbë të një funksioni
Të gjitha këto mjete janë të lidhura me njëra-tjetrën. Derivatet ndërtohen nga kufijtë dhe një integral është anasjellta e një derivati.
Studimi zyrtar i llogaritjes filloi në shekullin e 17-të nga shkencëtarë dhe matematikanë të njohur si Isaac Newton dhe Gottfried Leibni. Është një disiplinë matematikore që ka të bëjë kryesisht me funksionet, kufijtë, derivatet dhe integralet. Ka 2 fusha të ndryshme të llogaritjes. Nënfusha e parë quhet llogaritje diferenciale. Duke përdorur konceptin e derivateve të funksionit, ai studion sjelljen dhe shpejtësinë se si ndryshojnë sasitë e ndryshme. Duke përdorur procesin e diferencimit, grafiku i një funksioni në fakt mund të llogaritet, analizohet dhe parashikohet. Nënfusha e dytë quhet llogaritje integrale . Integrimi është në fakt procesi i kundërt i diferencimit, i lidhur me konceptin e anti-derivativit.
Kur e përdorni llogaritjen në botën reale? Përdoret për të krijuar modele matematikore për të arritur në një zgjidhje optimale. Për shembull,
- Në fizikë, koncepti i llogaritjes përdoret në lëvizje, energji elektrike, nxehtësi, dritë, harmonikë, akustikë, astronomi, dinamikë, elektromagnetizëm dhe teoria e relativitetit të Ajnshtajnit përdorin llogaritjet.
- Në kimi, llogaritjet mund të përdoren për të parashikuar funksione të tilla si shpejtësia e reagimit dhe zbërthimi radioaktiv.
- Në biologji, përdoret për të formuluar norma të tilla si normat e lindjeve dhe vdekjeve.
- Në ekonomi, llogaritja përdoret për të llogaritur koston marxhinale dhe të ardhurat marxhinale, duke u mundësuar ekonomistëve të parashikojnë fitimin maksimal në një mjedis specifik.
Le të përpiqemi të kuptojmë llogaritjet duke përdorur disa shembuj:
Një nga skenarët ku zgjidhja është vetëm në llogaritje është njohja e shkallës së ndryshimit të vëllimit të një kubi në lidhje me ndryshimin në anët e tij. Nëse \(dy\) përfaqëson ndryshimin e vëllimit të një kubi dhe dx përfaqëson ndryshimin e anëve të kubit, atëherë mund të përdorim formën derivatore \(^{dy}/_{dx}\) . zhvendosja e makinës në lidhje me kohën. Boshti x përfaqëson kohën dhe y është zhvendosja. Tani a mund të gjeni sa ishte shpejtësia në pikën (t1, y1)?
Kontrolloni figurën 2, nëse makina mbulon distancën y2 − y1 në intervalin kohor x2 − x1 atëherë, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Kjo mund të shkruhet edhe si ndryshim në distancë/ndryshim në kohë, që është shpejtësia. Pra, çdo pjerrësi e vijës në këtë grafik jep shpejtësi. ndërsa \(\Delta t \) zvogëlohet, ne i afrohemi gjetjes së shpejtësisë së menjëhershme në një pikë të këtij grafiku. Për të gjetur shpejtësinë na duhen dy pika pasi shpejtësia është e barabartë me ndryshimin e distancës ∕ ndryshimin në kohë. Nëse po përpiqeni të gjeni shpejtësinë e menjëhershme duke përdorur këtë formulë duke ulur intervalin kohor në pothuajse 0, atëherë ne po nxjerrim derivatin e këtij funksioni. Do të mësoni se si të nxirrni një derivat të një funksioni në mësimin e Derivatit.
Pra, nëse ky grafik përkufizohet si y = t 2 + 2 , atëherë shpejtësia në çdo moment të kohës do të jetë 2t (rrjedhur duke përdorur formulën e derivatit). Tani mund të gjeni shpejtësinë e menjëhershme në çdo moment të kohës.
Procesi i gjetjes së derivateve quhet diferencim. Le të jetë derivati i një funksioni y = f(x). Është masa e shpejtësisë në të cilën vlera e y ndryshon në lidhje me ndryshimin e ndryshores x. Njihet si derivat i funksionit “f”, në lidhje me ndryshoren x.
Nëse një ndryshim pafundësisht i vogël në x shënohet si dx, atëherë derivati i y në lidhje me x shkruhet si dy ∕ dx.
Një makinë që udhëton me 30 km në orë. Nëse ecën për 4 orë atëherë distanca e përshkuar është 30 × 4 = 120 km. Por këtu shtrohet pyetja, a mund të ecë një makinë me një shpejtësi konstante prej 30 km/orë? Jo, duke pasur parasysh se rruga do të ketë sinjalistikë trafiku, gunga dhe kthesa shpejtësia do të ndryshojë. Pra, tani i njëjti problem bëhet kompleks, se si të përcaktohet distanca e përshkuar me makinë në një moment të caktuar që po vraponte me shpejtësi të ndryshme?
Ky problem ka një zgjidhje në llogaritje! Zhvendosja totale e makinës mund të gjendet duke marrë integralin e shpejtësisë së makinës në lidhje me kohën.
Le të shqyrtojmë një grafik tjetër ku shpejtësia vizatohet në lidhje me kohën. Nëse duam të gjejmë se sa distancë ka përshkuar makina në intervalin kohor t2− t1, atëherë distanca është shpejtësi × kohë , e cila është zona nën kurbë midis dy pikave t1 dhe t2.
Për të nxjerrë sipërfaqen ne përdorim llogaritjen integrale. Nëse shpejtësia s është funksion i kohës t, dmth S = F(t) atëherë duke përdorur integralin mund ta gjejmë sipërfaqen e kësaj pjese si \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Për të gjetur zonën nën këtë kurbë ne nxjerrim integrimin e një funksioni. Si ta bëni këtë do ta mësoni në mësimin integral. Nëse ky grafik paraqet funksionin y = x 2 , atëherë zona nën lakore për kohën t1= 1 deri në t2= 2 është \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (ku C është një konstante) = 7/3
Integrimi është një metodë e shtimit ose përmbledhjes së pjesëve për të gjetur të tërën. Është një proces i kundërt i diferencimit, ku i reduktojmë funksionet në pjesë. Integrali përdoret për të gjetur përmbledhjen në një shkallë të gjerë. Llogaritja e problemeve të vogla të mbledhjes mund të bëhet me dorë ose me kalkulatorë, por për problemet e mëdha të mbledhjes, ku kufijtë mund të arrijnë deri në pafundësi, përdoren metodat e integrimit.
Një limit na lejon të shqyrtojmë tendencën e një funksioni rreth një pike të caktuar edhe kur funksioni nuk është i përcaktuar në pikë. Le të shohim funksionin më poshtë.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Meqenëse emëruesi i tij është zero kur x=1, f(1) është i papërcaktuar, megjithatë, kufiri i tij në x=1 ekziston dhe tregon se vlera e funksionit i afrohet 2 atje.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
