Kalkyl är studien av hur saker förändras. Det ger ett ramverk för att studera förändringen och för att härleda förutsägelser för sådan förändring. För att förstå kalkyl behöver du ha förståelse för två saker - siffror och funktioner! Calculus hjälper oss att förstå förändringar mellan värden som är relaterade till en funktion.
Till exempel, i studien av spridningen av infektionssjukdomar, förlitar vi oss starkt på tandsten. Tre huvudfaktorer beaktas,
Med dessa tre variabler kan kalkyl användas för att avgöra hur långt och snabbt en sjukdom sprider sig, varifrån den har sitt ursprung och vad som är bästa möjliga sätt att behandla den. Eftersom infektions- och återhämtningshastigheten förändras över tiden, så måste ekvationerna vara tillräckligt dynamiska för att svara på de nya modellerna som utvecklas varje dag. Många av dessa formler är funktioner av tid, och ett sätt att tänka på kalkyl är att se det som en studie av funktioner av tid.
För att ta itu med problemet med att ändra kvantiteter med avseende på tid, har kalkylen tre verktyg:
(1) Gränser, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : En gräns ger värdet som en funktion närmar sig när funktionens indata kommer närmare och närmare ett tal. Limits är verktyg för att beskriva hur en funktion närmar sig ett värde
(2) Derivater, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Det är förändringshastigheten för en funktion i förhållande till en variabel. Derivata beskriver hur en funktion förändras
(3) Integral, \(\int f(x)dx\) : Motsvarar summering av infinitesimala bitar för att hitta arean, volymen av ett kontinuerligt område. Integral härleda area under en kurva för en funktion
Alla dessa verktyg är relaterade till varandra. Derivat är byggda från limiter och en integral är inversen av en derivata.
Den formella studien av kalkyl startade på 1600-talet av välkända vetenskapsmän och matematiker som Isaac Newton och Gottfried Leibni. Det är en matematisk disciplin som främst handlar om funktioner, gränser, derivator och integraler. Det finns 2 olika kalkylfält. Det första delfältet kallas differentialkalkyl. Med hjälp av konceptet funktionsderivator studerar den beteendet och hastigheten för hur olika storheter förändras. Med hjälp av differentieringsprocessen kan grafen för en funktion faktiskt beräknas, analyseras och förutsägas. Det andra underfältet kallas integralkalkyl . Integration är i själva verket den omvända differentieringsprocessen, som handlar om begreppet anti-derivat.
När använder du kalkyl i den verkliga världen? Den används för att skapa matematiska modeller för att komma fram till en optimal lösning. Till exempel,
– Inom fysiken används begreppet kalkyl inom rörelse, elektricitet, värme, ljus, övertoner, akustik, astronomi, dynamik, elektromagnetism och Einsteins relativitetsteori använder kalkyl.
– Inom kemi kan kalkyl användas för att förutsäga funktioner som reaktionshastigheter och radioaktivt sönderfall.
– Inom biologin används det för att formulera siffror som födelse- och dödstal.
- Inom ekonomi används kalkyl för att beräkna marginalkostnader och marginalintäkter, vilket gör det möjligt för ekonomer att förutsäga maximal vinst i en specifik miljö.
Låt oss försöka förstå kalkyl med några exempel:
Ett av scenarierna där lösningen bara finns i kalkyl är att veta förändringshastigheten för en kubs volym i förhållande till förändringen i dess sidor. Om \(dy\) representerar volymförändringen för en kub och dx representerar förändringen av kubens sidor, så kan vi använda derivatformen \(^{dy}/_{dx}\) . Låt oss rita upp bilförskjutning i förhållande till tid. X-axeln representerar tid och y är förskjutningen. Nu kan du hitta vad var hastigheten vid punkt (t1,y1)?
Kontrollera figur 2, om bilen klarar avståndet y2 − y1 vid tidsintervallet x2 − x1 då \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Detta kan också skrivas som en förändring i avstånd/förändring i tid, vilket är hastighet. Så varje lutning på en linje i denna graf ger hastighet. när \(\Delta t \) minskar kommer vi närmare att hitta den momentana hastigheten vid en punkt i denna graf. För att hitta hastighet behöver vi två punkter eftersom hastigheten är lika med förändringen i avstånd ∕ förändring i tid. Om du försöker hitta den momentana hastigheten med denna formel genom att minska tidsintervallet till nästan 0, så härleder vi derivatan av denna funktion. Du kommer att lära dig hur man härleder en derivata av en funktion i lektionen Derivat.
Så om denna graf definieras som y = t 2 + 2 kommer hastigheten vid vilken tidpunkt som helst att vara 2t (härledd med derivatformel). Nu kan du hitta den momentana hastigheten när som helst.
Processen att hitta derivaten kallas differentiering. Låt, derivatan av en funktion vara y = f(x). Det är måttet på den hastighet med vilken värdet av y ändras med avseende på förändringen av variabeln x. Det är känt som derivatan av funktionen "f", med avseende på variabeln x.
Om en oändlig ändring i x betecknas som dx, så skrivs derivatan av y med avseende på x som dy ∕ dx.
En bil som färdas i 30 km i timmen. Om den kör i 4 timmar är den tillryggalagda sträckan 30 × 4 = 120 km. Men här är frågan, kan en bil köra med en konstant hastighet på 30 km/tim? Nej, med tanke på att vägen kommer att ha trafiksignaler, gupp och svängar kommer hastigheten att variera. Så nu blir samma problem komplext, för hur kan man bestämma avståndet som tillryggalagts av en bil vid ett visst ögonblick som kördes med varierande hastigheter?
Detta problem har en lösning i kalkyl! Bilens totala deplacement kan hittas genom att ta integralen av bilens hastighet i förhållande till tiden.
Låt oss betrakta en annan graf där hastigheten plottas i förhållande till tiden. Om vi vill ta reda på hur lång sträcka bilen tillryggalagt i tidsintervallet t2− t1, så är avståndet hastighet × tid , vilket är området under kurvan mellan två punkter t1 och t2.
För att härleda arean använder vi integralkalkyl. Om hastigheten s är en funktion av tiden t, dvs. S = F(t), kan vi genom att använda integralen hitta arean av denna del som \(F(t) = \int s\cdot dt\) För att hitta arean under denna kurva härleder vi integrationen av en funktion. Hur du gör det kommer du att lära dig i den integrerade lektionen. Om denna graf plottar funktionen y = x 2 så är arean under kurvan för tiden t1= 1 till t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (där C är en konstant) = 7/3
Integration är en metod för att lägga till eller summera delarna för att hitta helheten. Det är en omvänd differentieringsprocess, där vi reducerar funktionerna i delar. Integral används för att hitta summeringen i stor skala. Beräkning av små additionsproblem kan göras manuellt eller med miniräknare, men för stora additionsproblem, där gränserna kan sträcka sig till oändligt, används integrationsmetoder.
En gräns tillåter oss att undersöka tendensen hos en funktion runt en given punkt även när funktionen inte är definierad vid punkten. Låt oss titta på funktionen nedan.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Eftersom dess nämnare är noll när x=1, är f(1) odefinierad, men dess gräns vid x=1 existerar och indikerar att funktionsvärdet närmar sig 2 där.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
