Calculus ni somo la jinsi mambo yanavyobadilika. Inatoa mfumo wa kusoma mabadiliko na kuamua utabiri wa mabadiliko kama haya. Ili kuelewa calculus unahitaji kuwa na ufahamu wa vitu viwili - nambari na kazi! Calculus hutusaidia kuelewa mabadiliko kati ya thamani ambazo zinahusiana na chaguo la kukokotoa.
Kwa mfano, katika utafiti wa kuenea kwa magonjwa ya kuambukiza, tunategemea sana calculus. Mambo makuu matatu yanazingatiwa,
Kwa vigezo hivi vitatu, calculus inaweza kutumika kubainisha jinsi ugonjwa unavyoenea kwa umbali na kasi, umetokea wapi, na ni njia gani bora zaidi ya kutibu. Kadiri viwango vya maambukizo na urejeshaji unavyobadilika kadiri muda unavyopita, kwa hivyo milinganyo lazima iwe na nguvu ya kutosha kukabiliana na miundo mipya inayoendelea kila siku. Nyingi za fomula hizi ni kazi za wakati, na njia moja ya kufikiria calculus ni kuiona kama uchunguzi wa utendaji wa wakati.
Ili kukabiliana na shida ya kubadilisha idadi kwa heshima na wakati, calculus ina zana tatu:
(1) Mipaka, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Kikomo hutoa thamani ambayo chaguo la kukokotoa hukaribia kadri ingizo za chaguo za kukokotoa zinapokaribia na kukaribia nambari fulani. Vikomo ni zana za kuelezea jinsi chaguo za kukokotoa hukaribia thamani
(2) Viingilio, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Ni kasi ya mabadiliko ya chaguo za kukokotoa kwa heshima na kigezo. Derivative inaeleza jinsi chaguo za kukokotoa hubadilika
(3) Integral, \(\int f(x)dx\) : Inalingana na muhtasari wa vipande visivyo na kikomo ili kupata eneo, ujazo wa eneo linaloendelea. Eneo la utokaji muunganisho chini ya mkunjo wa chaguo za kukokotoa
Zana hizi zote zinahusiana na kila mmoja. Viingilio hujengwa kutoka kwa kikomo na kiunganishi ni kinyume cha derivative.
Utafiti rasmi wa calculus ulianza katika karne ya 17 na wanasayansi maarufu na wanahisabati kama Isaac Newton na Gottfried Leibni. Ni taaluma ya hisabati ambayo kimsingi inahusika na kazi, vikomo, derivatives na viambatanisho. Kuna nyanja 2 tofauti za calculus. Sehemu ndogo ya kwanza inaitwa calculus tofauti. Kwa kutumia dhana ya viini vya utendakazi, inasoma tabia na kiwango cha jinsi idadi tofauti inavyobadilika. Kwa kutumia mchakato wa upambanuzi, grafu ya chaguo za kukokotoa inaweza kweli kukokotwa, kuchanganuliwa, na kutabiriwa. Sehemu ndogo ya pili inaitwa hesabu muhimu . Ujumuishaji kwa kweli ni mchakato wa kinyume wa upambanuzi, unaohusika na dhana ya kinza-derivative.
Je, unatumia calculus lini katika ulimwengu wa kweli? Inatumika kuunda mifano ya hisabati ili kufikia suluhisho bora. Kwa mfano,
- Katika fizikia, dhana ya calculus hutumika katika mwendo, umeme, joto, mwanga, harmonics, acoustics, astronomia, mienendo, electromagnetism na nadharia ya Einstein ya relativity kutumia calculus.
- Katika kemia, calculus inaweza kutumika kutabiri utendaji kama vile viwango vya athari na kuoza kwa mionzi.
- Katika biolojia, inatumika kuunda viwango kama vile viwango vya kuzaliwa na vifo.
- Katika uchumi, calculus hutumiwa kukokotoa gharama ya chini na mapato ya chini, kuwezesha wachumi kutabiri faida ya juu zaidi katika mpangilio maalum.
Wacha tujaribu kuelewa calculus kwa kutumia mifano michache:
Moja ya matukio ambapo ufumbuzi ni tu katika calculus ni kujua kiwango cha mabadiliko ya kiasi cha mchemraba kwa heshima na mabadiliko katika pande zake. Ikiwa \(dy\) inawakilisha mabadiliko ya ujazo wa mchemraba na dx inawakilisha mabadiliko ya pande za mchemraba, basi tunaweza kutumia fomu ya derivative \(^{dy}/_{dx}\) .Wacha tupange uhamishaji wa gari kwa heshima ya wakati. Mhimili wa x unawakilisha wakati na y ni uhamishaji. Sasa unaweza kupata kasi ilikuwa nini (t1,y1)?
Angalia mchoro 2, ikiwa gari linashughulikia umbali y2 - y1 kwa muda wa muda x2 - x1 basi, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Hili pia linaweza kuandikwa kama mabadiliko ya umbali/mabadiliko ya wakati, ambayo ni kasi. Kwa hivyo mteremko wowote wa mstari kwenye grafu hii unatoa kasi. kama \(\Delta t \) inapunguza tunakaribia kupata kasi ya papo hapo katika hatua kwenye grafu hii. Ili kupata kasi tunahitaji pointi mbili kwani kasi ni sawa na mabadiliko ya umbali ∕ mabadiliko ya wakati. Ikiwa unajaribu kutafuta kasi ya papo hapo kwa kutumia fomula hii kwa kupunguza muda wa saa hadi karibu 0, basi tunapata derivative ya chaguo hili la kukokotoa. Utajifunza jinsi ya kupata derivative ya chaguo za kukokotoa katika somo la Derivative.
Kwa hivyo ikiwa grafu hii inafafanuliwa kama y = t 2 + 2 basi kasi wakati wowote itakuwa 2t (inayotokana na fomula ya derivative). Sasa unaweza kupata kasi ya papo hapo wakati wowote kwa wakati.
Mchakato wa kupata derivatives unaitwa utofautishaji. Wacha, derivative ya chaguo za kukokotoa iwe y = f(x). Ni kipimo cha kiwango ambacho thamani ya y inabadilika kuhusiana na mabadiliko ya x. Inajulikana kama derivative ya chaguo za kukokotoa "f", kuhusiana na mabadiliko ya x.
Ikiwa badiliko lisilo na kikomo katika x limeashiriwa kama dx, basi kinyambulisho cha y kuhusiana na x kimeandikwa kama dy ∕ dx.
Gari ambayo husafiri kwa kilomita 30 kwa saa. Ikiwa inaendesha kwa saa 4 basi umbali uliosafiri ni 30 × 4 = 120 km. Lakini hapa swali ni je, gari linaweza kukimbia kwa mwendo wa kasi wa 30km∕saa? Hapana, kwa kuzingatia kuwa barabara itakuwa na ishara za trafiki, matuta, na zamu kasi itabadilika. Kwa hivyo sasa shida hiyo hiyo inakuwa ngumu, kwa jinsi ya kujua umbali uliosafirishwa na gari kwa papo fulani ambalo lilikuwa likienda kwa kasi tofauti?
Tatizo hili lina suluhu katika calculus! Uhamisho wa jumla wa gari unaweza kupatikana kwa kuchukua sehemu muhimu ya kasi ya gari kwa heshima na wakati.
Hebu tuchunguze grafu nyingine ambapo kasi imepangwa kwa heshima na wakati. Ikiwa tunataka kupata umbali gani gari lilisafiri kwa muda wa muda t2-t1, basi umbali ni kasi × wakati , ambayo ni eneo chini ya curve kati ya pointi mbili t1 na t2.
Ili kupata eneo tunatumia calculus muhimu. Ikiwa kasi s ni chaguo la kukokotoa la wakati t, yaani S = F(t) basi kwa kutumia muunganisho tunaweza kupata eneo la sehemu hii kama \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Ili kupata eneo chini ya curve hii tunapata muunganisho wa chaguo za kukokotoa. Jinsi ya kufanya hivyo utajifunza katika somo muhimu. Ikiwa grafu hii itapanga chaguo za kukokotoa y = x 2 basi eneo lililo chini ya mkunjo kwa muda t1= 1 hadi t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (ambapo C ni thabiti) = 7/3
Ujumuishaji ni njia ya kuongeza au muhtasari wa sehemu ili kupata nzima. Ni mchakato wa kinyume wa utofautishaji, ambapo tunapunguza kazi katika sehemu. Integral hutumiwa kupata muhtasari chini ya kiwango kikubwa. Uhesabuji wa matatizo madogo ya kuongeza inaweza kufanywa kwa mikono au kwa vikokotoo, lakini kwa matatizo makubwa ya kuongeza, ambapo kikomo kinaweza kufikia hata ukomo, mbinu za kuunganisha hutumiwa.
Kikomo huturuhusu kuchunguza mwelekeo wa chaguo za kukokotoa karibu na sehemu fulani hata wakati kipengele cha kukokotoa hakijafafanuliwa katika uhakika. Wacha tuangalie kazi hapa chini.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Kwa kuwa denominator yake ni sifuri wakati x=1, f(1) haijafafanuliwa, hata hivyo, kikomo chake cha x=1 kipo na inaonyesha kuwa thamani ya kazi inakaribia 2 hapo.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
