แคลคูลัสคือการศึกษาการเปลี่ยนแปลงของสิ่งต่างๆ เป็นกรอบในการศึกษาการเปลี่ยนแปลงและอนุมานการคาดการณ์สำหรับการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว ในการเข้าใจแคลคูลัส คุณต้องมีความเข้าใจในสองสิ่ง - ตัวเลขและฟังก์ชัน! แคลคูลัสช่วยให้เราเข้าใจการเปลี่ยนแปลงระหว่างค่าที่เกี่ยวข้องโดยฟังก์ชัน
ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาการแพร่กระจายของโรคติดเชื้อ เราพึ่งพาแคลคูลัสอย่างมาก โดยคำนึงถึงปัจจัยหลัก 3 ประการ ได้แก่
ด้วยตัวแปรทั้งสามนี้ แคลคูลัสสามารถใช้เพื่อกำหนดว่าโรคแพร่กระจายได้ไกลและรวดเร็วเพียงใด มีต้นกำเนิดมาจากที่ใด และวิธีใดเป็นวิธีที่ดีที่สุดในการรักษา เนื่องจากอัตราการติดเชื้อและการฟื้นตัวเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ดังนั้นสมการจึงต้องมีไดนามิกเพียงพอที่จะตอบสนองต่อโมเดลใหม่ที่พัฒนาขึ้นทุกวัน สูตรเหล่านี้หลายสูตรเป็นฟังก์ชันของเวลา และวิธีคิดแคลคูลัสวิธีหนึ่งก็คือมองว่ามันเป็นการศึกษาฟังก์ชันของเวลา
เพื่อจัดการกับปัญหาการเปลี่ยนแปลงปริมาณตามเวลา แคลคูลัสมีเครื่องมือสามอย่าง:
(1) ลิมิต, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : ลิมิตให้ค่าที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เมื่ออินพุตของฟังก์ชันนั้นเข้าใกล้ตัวเลขมากขึ้นเรื่อยๆ ลิมิตเป็นเครื่องมือในการอธิบายว่าฟังก์ชันเข้าใกล้ค่าอย่างไร
(2) Derivatives, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : เป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันที่เกี่ยวกับตัวแปร อนุพันธ์อธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน
(3) อินทิกรัล, \(\int f(x)dx\) : สอดคล้องกับการบวกจำนวนน้อยเพื่อหาพื้นที่ ปริมาตรของพื้นที่ต่อเนื่อง พื้นที่รับอนุพันธ์ใต้เส้นโค้งของฟังก์ชัน
เครื่องมือทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน อนุพันธ์ถูกสร้างขึ้นจากลิมิต และอินทิกรัลคือส่วนผกผันของอนุพันธ์
การศึกษาแคลคูลัสอย่างเป็นทางการเริ่มขึ้นในศตวรรษที่ 17 โดยนักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง เช่น ไอแซก นิวตัน และกอตต์ฟรีด ไลบ์นี เป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับ ฟังก์ชัน ลิมิต อนุพันธ์ และปริพันธ์ เป็นหลัก แคลคูลัสมี 2 ฟิลด์ที่แตกต่างกัน ฟิลด์ย่อยแรกเรียกว่า แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ โดยใช้แนวคิดของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ศึกษาพฤติกรรมและอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณต่างๆ เมื่อใช้กระบวนการสร้างความแตกต่าง กราฟของฟังก์ชันสามารถคำนวณ วิเคราะห์ และทำนายได้จริง ฟิลด์ย่อยที่สองเรียกว่า อินทิกรัล แคลคูลัส . การบูรณาการเป็นกระบวนการย้อนกลับของความแตกต่างที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดของการต่อต้านอนุพันธ์
คุณใช้แคลคูลัสในโลกแห่งความเป็นจริงเมื่อใด ใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อให้ได้คำตอบที่เหมาะสมที่สุด ตัวอย่างเช่น,
- ในวิชาฟิสิกส์ แนวคิดของแคลคูลัสใช้ในการเคลื่อนที่ ไฟฟ้า ความร้อน แสง ฮาร์มอนิก เสียง ดาราศาสตร์ พลศาสตร์ แม่เหล็กไฟฟ้า และทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ใช้แคลคูลัส
- ในวิชาเคมี แคลคูลัสสามารถใช้ทำนายฟังก์ชันต่างๆ เช่น อัตราการเกิดปฏิกิริยาและการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี
- ในทางชีววิทยา ใช้ในการกำหนดอัตราต่างๆ เช่น อัตราการเกิดและการตาย
- ในทางเศรษฐศาสตร์ แคลคูลัสใช้ในการคำนวณต้นทุนส่วนเพิ่มและรายได้ส่วนเพิ่ม ทำให้นักเศรษฐศาสตร์สามารถคาดการณ์กำไรสูงสุดในสภาพแวดล้อมเฉพาะได้
ให้เราพยายามทำความเข้าใจแคลคูลัสโดยใช้ตัวอย่าง:
หนึ่งในสถานการณ์ที่วิธีแก้ปัญหาอยู่ในแคลคูลัสเท่านั้น คือการทราบอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของลูกบาศก์ที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงด้านข้าง ถ้า \(dy\) แทนการเปลี่ยนแปลงปริมาตรของลูกบาศก์ และ dx แทนการเปลี่ยนแปลงด้านของลูกบาศก์ เราก็สามารถใช้รูปอนุพันธ์ได้ \(^{dy}/_{dx}\) ให้เราพล็อต การเคลื่อนที่ของรถตามเวลา แกน x แทนเวลา และ y คือการกระจัด ตอนนี้คุณหาความเร็วที่จุด (t1,y1) ได้เท่าไหร่แล้ว?
ตรวจสอบรูปที่ 2 ถ้ารถครอบคลุมระยะทาง y2 − y1 ที่ช่วงเวลา x2 − x1 ดังนั้น \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) นอกจากนี้ยังสามารถเขียนเป็นการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง/การเปลี่ยนแปลงของเวลา ซึ่งก็คือความเร็ว ความชันใดๆ ของเส้นในกราฟนี้ให้ความเร็ว เมื่อ \(\Delta t \) ลดลง เราจะเข้าใกล้การหาความเร็วชั่วขณะ ณ จุดหนึ่งของกราฟนี้มากขึ้น ในการหาความเร็ว เราต้องการจุดสองจุด เนื่องจากความเร็วเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง ∕ การเปลี่ยนแปลงของเวลา หากคุณกำลังพยายามหาความเร็วชั่วขณะโดยใช้สูตรนี้โดยการลดช่วงเวลาให้เหลือเกือบ 0 แสดงว่าเราได้อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ คุณจะได้เรียนรู้วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันในบทเรียนเรื่องอนุพันธ์
ดังนั้นหากนิยามกราฟนี้เป็น y = t 2 + 2 ความเร็ว ณ จุดใดๆ ของเวลาจะเป็น 2t (หาได้จากสูตรอนุพันธ์) ตอนนี้คุณสามารถค้นหาความเร็วชั่วขณะ ณ เวลาใดก็ได้
กระบวนการค้นหาอนุพันธ์เรียกว่า การหาอนุพันธ์ ให้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็น y = f(x) เป็นการวัดอัตราที่ค่าของ y เปลี่ยนแปลงตามการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร x เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน “f” เทียบกับตัวแปร x
ถ้าการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยใน x ถูกเขียนแทนด้วย dx ดังนั้น อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x จะเขียนเป็น dy ∕ dx
รถที่วิ่งด้วยความเร็ว 30 กม.ต่อชั่วโมง ถ้าขับรถเป็นเวลา 4 ชั่วโมง ระยะทางที่เดินทางได้คือ 30 × 4 = 120 กม. แต่คำถามคือ รถยนต์สามารถวิ่งด้วยความเร็วคงที่ 30 กม.∕ชม. ได้หรือไม่? ไม่ เนื่องจากถนนจะมีสัญญาณไฟจราจร การกระแทก และทางเลี้ยว ความเร็วจึงแตกต่างกันไป ตอนนี้ปัญหาเดียวกันนี้กลายเป็นเรื่องซับซ้อน สำหรับวิธีกำหนดระยะทางที่รถยนต์เดินทางในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งวิ่งด้วยความเร็วที่ต่างกัน
ปัญหานี้มีทางแก้ในแคลคูลัส! การกระจัดทั้งหมดของรถสามารถหาได้จากการหาค่าอินทิกรัลของความเร็วรถเทียบกับเวลา
ให้เราพิจารณากราฟอื่นที่พล็อตความเร็วตามเวลา ถ้าเราต้องการหาระยะทางที่รถแล่นไปในช่วงเวลา t2− t1 ระยะทางคือ ความเร็ว × เวลา ซึ่ง เป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้งระหว่างจุด t1 และ t2 สองจุด
เพื่อให้ได้พื้นที่เราใช้ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ถ้าความเร็ว s เป็นฟังก์ชันของเวลา t เช่น S = F(t) จากนั้นใช้อินทิกรัล เราสามารถหาพื้นที่ของส่วนนี้ได้เป็น \(F(t) = \int s\cdot dt\) ในการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งนี้ เราได้หาการอินทิเกรตของฟังก์ชัน วิธีการทำที่คุณจะได้เรียนรู้ในบทเรียนบูรณาการ ถ้ากราฟนี้พล็อตฟังก์ชัน y = x 2 ดังนั้นพื้นที่ใต้เส้นโค้งสำหรับเวลา t1= 1 ถึง t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (โดยที่ C เป็นค่าคงที่) = 7/3
การรวม เป็นวิธีการเพิ่มหรือสรุปส่วนต่างๆ เพื่อหาทั้งหมด เป็นกระบวนการย้อนกลับของความแตกต่างโดยเราลดฟังก์ชันออกเป็นส่วนๆ อินทิกรัลใช้ในการหาผลรวมในระดับที่กว้างใหญ่ การคำนวณปัญหาการบวกเล็กๆ น้อยๆ สามารถทำได้ด้วยตนเองหรือใช้เครื่องคิดเลข แต่สำหรับปัญหาการบวกขนาดใหญ่ที่ขีดจำกัดอาจไปถึงระดับอนันต์ จะใช้วิธีอินทิเกรต
ขีดจำกัด ช่วยให้เราสามารถตรวจสอบแนวโน้มของฟังก์ชันรอบๆ จุดที่กำหนด แม้ว่าฟังก์ชันจะไม่ได้กำหนดไว้ที่จุดนั้นก็ตาม ให้เราดูที่ฟังก์ชั่นด้านล่าง
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
เนื่องจากตัวส่วนของมันเป็นศูนย์เมื่อ x=1, f(1) ไม่ได้ถูกกำหนด อย่างไรก็ตาม ขีดจำกัดของมันที่ x=1 มีอยู่และบ่งชี้ว่าค่าฟังก์ชันเข้าใกล้ 2 ตรงนั้น
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
