Ang Calculus ay ang pag-aaral kung paano nagbabago ang mga bagay. Nagbibigay ito ng isang balangkas upang pag-aralan ang pagbabago at upang matukoy ang mga hula para sa naturang pagbabago. Upang maunawaan ang calculus kailangan mong magkaroon ng pang-unawa sa dalawang bagay - mga numero at mga function! Tinutulungan tayo ng Calculus na maunawaan ang mga pagbabago sa pagitan ng mga value na nauugnay sa isang function.
Halimbawa, sa pag-aaral ng pagkalat ng nakakahawang sakit, tayo ay lubos na umaasa sa calculus. Tatlong pangunahing salik ang isinasaalang-alang,
Sa tatlong variable na ito, maaaring gamitin ang calculus upang matukoy kung gaano kalayo at kabilis ang pagkalat ng isang sakit, kung saan ito nagmula, at kung ano ang pinakamahusay na posibleng paraan upang gamutin ito. Habang nagbabago ang mga rate ng impeksyon at pagbawi sa paglipas ng panahon, kaya dapat na sapat na dinamiko ang mga equation upang tumugon sa mga bagong modelong umuusbong araw-araw. Marami sa mga formula na ito ay mga function ng oras, at isang paraan upang isipin ang calculus ay ang tingnan ito bilang isang pag-aaral ng mga function ng oras.
Upang matugunan ang problema ng pagbabago ng mga dami na may paggalang sa oras, ang calculus ay may tatlong kasangkapan:
(1) Mga Limitasyon, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Ang limitasyon ay nagbibigay ng halaga na nalalapit sa isang function habang ang mga input ng function na iyon ay palapit ng palapit sa ilang numero. Ang mga limitasyon ay mga tool upang ilarawan kung paano lumalapit ang isang function sa isang halaga
(2) Derivatives, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Ito ay ang rate ng pagbabago ng isang function na may kinalaman sa isang variable. Inilalarawan ng derivative kung paano nagbabago ang isang function
(3) Integral, \(\int f(x)dx\) : Tumutugon sa pagsusuma ng infinitesimal na piraso upang mahanap ang lugar, dami ng tuluy-tuloy na rehiyon. Integral derive area sa ilalim ng curve ng isang function
Ang lahat ng mga tool na ito ay nauugnay sa isa't isa. Ang mga derivative ay binuo mula sa mga limitasyon at isang integral ay ang kabaligtaran ng isang derivative.
Ang pormal na pag-aaral ng calculus ay nagsimula noong ika-17 siglo ng mga kilalang siyentipiko at mathematician tulad nina Isaac Newton at Gottfried Leibni. Ito ay isang matematikal na disiplina na pangunahing may kinalaman sa mga function, limitasyon, derivatives, at integral. Mayroong 2 magkaibang larangan ng calculus. Ang unang subfield ay tinatawag na differential calculus. Gamit ang konsepto ng function derivatives, pinag-aaralan nito ang pag-uugali at rate kung paano nagbabago ang iba't ibang dami. Gamit ang proseso ng pagkita ng kaibhan, ang graph ng isang function ay maaaring aktwal na makalkula, masuri, at mahulaan. Ang pangalawang subfield ay tinatawag integral calculus . Ang pagsasama-sama ay talagang ang kabaligtaran na proseso ng pagkita ng kaibhan, na nababahala sa konsepto ng anti-derivative.
Kailan mo ginagamit ang calculus sa totoong mundo? Ito ay ginagamit upang lumikha ng mga modelo ng matematika upang makarating sa isang pinakamainam na solusyon. Halimbawa,
- Sa pisika, ang konsepto ng calculus ay ginagamit sa paggalaw, kuryente, init, liwanag, harmonics, acoustics, astronomy, dynamics, electromagnetism at Einstein's theory of relativity use calculus.
- Sa chemistry, maaaring gamitin ang calculus upang mahulaan ang mga function tulad ng mga rate ng reaksyon at radioactive decay.
- Sa biology, ito ay ginagamit upang bumalangkas ng mga rate tulad ng mga rate ng kapanganakan at kamatayan.
- Sa ekonomiya, ang calculus ay ginagamit upang kalkulahin ang marginal na gastos at marginal na kita, na nagbibigay-daan sa mga ekonomista na mahulaan ang pinakamataas na kita sa isang partikular na setting.
Subukan nating maunawaan ang calculus gamit ang ilang mga halimbawa:
Ang isa sa mga sitwasyon kung saan ang solusyon ay nasa calculus lamang ay upang malaman ang rate ng pagbabago ng volume ng isang kubo na may paggalang sa pagbabago sa mga gilid nito. Kung \(dy\) ay kumakatawan sa pagbabago ng volume ng isang kubo at ang dx ay kumakatawan sa pagbabago ng mga gilid ng kubo, pagkatapos ay maaari nating gamitin ang derivative form \(^{dy}/_{dx}\) . Let us plot the car displacement with respect to time. Ang x-axis ay kumakatawan sa oras at y ang displacement. Ngayon mahahanap mo ba kung ano ang bilis sa punto (t1,y1)?
Suriin ang figure 2, kung ang sasakyan ay sumasaklaw sa distansya y2 − y1 sa pagitan ng oras x2 − x1 pagkatapos \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Kaya ang anumang slope ng isang linya sa graph na ito ay nagbibigay ng bilis. habang ang \(\Delta t \) ay bumababa, nagiging mas malapit tayo sa paghahanap ng agarang bilis sa isang punto sa graph na ito. Upang mahanap ang bilis kailangan namin ng dalawang puntos dahil ang bilis ay katumbas ng pagbabago sa distansya ∕ pagbabago sa oras. Kung sinusubukan mong hanapin ang madalian na bilis gamit ang formula na ito sa pamamagitan ng pagbabawas ng agwat ng oras sa halos 0, kung gayon kinukuha namin ang derivative ng function na ito. Matututuhan mo kung paano kumuha ng derivative ng isang function sa Derivative lesson.
Kaya kung ang graph na ito ay tinukoy bilang y = t 2 + 2 kung gayon ang bilis sa anumang punto ng oras ay magiging 2t (nagmula gamit ang derivative formula). Ngayon ay mahahanap mo na ang agarang bilis sa anumang punto ng oras.
Ang proseso ng paghahanap ng mga derivatives ay tinatawag na differentiation. Hayaan, ang derivative ng isang function ay y = f(x). Ito ang sukatan ng rate kung saan nagbabago ang halaga ng y kaugnay ng pagbabago ng variable na x. Ito ay kilala bilang derivative ng function na "f", na may paggalang sa variable na x.
Kung ang isang infinitesimal na pagbabago sa x ay tinutukoy bilang dx, kung gayon ang derivative ng y na may paggalang sa x ay isinusulat bilang dy ∕ dx.
Isang kotse na bumibiyahe sa bilis na 30 km kada oras. Kung ito ay nagmamaneho ng 4 na oras, ang distansyang nilakbay ay 30 × 4 = 120 km. Ngunit narito ang tanong, maaari bang tumakbo ang isang kotse sa palaging bilis na 30km∕hour? Hindi, kung isasaalang-alang na ang kalsada ay magkakaroon ng mga signal ng trapiko, mga bump, at mga pagliko ay mag-iiba ang bilis. Kaya ngayon ang parehong problema ay nagiging kumplikado, para sa kung paano matukoy ang distansya na nilakbay ng kotse sa isang partikular na instant na tumatakbo sa iba't ibang bilis?
Ang problemang ito ay may solusyon sa calculus! Ang kabuuang displacement ng kotse ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng integral ng bilis ng sasakyan na may paggalang sa oras.
Isaalang-alang natin ang isa pang graph kung saan ang bilis ay naka-plot tungkol sa oras. Kung gusto nating malaman kung gaano karaming distansya ang nilakbay ng kotse sa pagitan ng oras t2− t1, kung gayon ang distansya ay bilis × oras , na siyang lugar sa ibaba ng kurba sa pagitan ng dalawang puntos t1 at t2.
Upang makuha ang lugar ginagamit namin ang integral calculus. Kung ang bilis s ay isang function ng oras t, ibig sabihin, S = F(t) pagkatapos gamit ang integral mahahanap natin ang lugar ng bahaging ito bilang \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Upang mahanap ang lugar sa ilalim ng curve na ito nakukuha namin ang pagsasama ng isang function. Kung paano gawin iyon ay matututuhan mo sa integral lesson. Kung ang graph na ito ay nag-plot ng function na y = x 2 kung gayon ang lugar sa ilalim ng curve para sa oras na t1= 1 hanggang t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (kung saan ang C ay pare-pareho) = 7/3
Ang integrasyon ay isang paraan ng pagdaragdag o pagbubuod ng mga bahagi upang mahanap ang kabuuan. Ito ay isang baligtad na proseso ng pagkita ng kaibhan, kung saan binabawasan namin ang mga function sa mga bahagi. Ang integral ay ginagamit upang mahanap ang kabuuan sa ilalim ng isang malawak na sukat. Ang pagkalkula ng mga maliliit na problema sa karagdagan ay maaaring gawin nang manu-mano o sa pamamagitan ng mga calculator, ngunit para sa malalaking problema sa karagdagan, kung saan ang mga limitasyon ay maaaring umabot sa kahit na infinity, ginagamit ang mga paraan ng pagsasama.
Ang isang limitasyon ay nagpapahintulot sa amin na suriin ang ugali ng isang function sa paligid ng isang naibigay na punto kahit na ang function ay hindi tinukoy sa punto. Tingnan natin ang function sa ibaba.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Dahil ang denominator nito ay zero kapag x=1, ang f(1) ay hindi natukoy, gayunpaman, ang limitasyon nito sa x=1 ay umiiral at nagpapahiwatig na ang halaga ng function ay lumalapit sa 2 doon.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
