Analiz, şeylerin nasıl değiştiğinin incelenmesidir. Değişimi incelemek ve bu değişim için tahminler çıkarmak için bir çerçeve sağlar. Analizi anlamak için iki şeyi anlamanız gerekir - sayılar ve fonksiyonlar! Matematik, bir işlevle ilişkili değerler arasındaki değişiklikleri anlamamıza yardımcı olur.
Örneğin, bulaşıcı bir hastalığın yayılması çalışmasında, ağırlıklı olarak hesaba güveniyoruz. Üç ana faktör dikkate alınır,
Bu üç değişkenle, bir hastalığın ne kadar uzağa ve hızlı yayıldığını, nereden kaynaklandığını ve onu tedavi etmenin mümkün olan en iyi yolunu belirlemek için analiz kullanılabilir. Enfeksiyon ve iyileşme oranları zamanla değiştikçe, denklemlerin her gün gelişen yeni modellere yanıt verecek kadar dinamik olması gerekir. Bu formüllerin birçoğu zamanın fonksiyonlarıdır ve hesabı düşünmenin bir yolu, onu zamanın fonksiyonlarının bir çalışması olarak görmektir.
Zamana göre değişen nicelik sorununun üstesinden gelmek için analizin üç aracı vardır:
(1) Limitler, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Limit, bir fonksiyonun girdileri bir sayıya yaklaştıkça yaklaştığı değeri verir. Limitler, bir fonksiyonun bir değere nasıl yaklaştığını açıklayan araçlardır.
(2) Türevler, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Bir fonksiyonun bir değişkene göre değişim oranıdır. Türev, bir fonksiyonun nasıl değiştiğini açıklar
(3) İntegral, \(\int f(x)dx\) : Sürekli bir bölgenin alanını, hacmini bulmak için sonsuz küçük parçaların toplanmasına karşılık gelir. Bir fonksiyonun eğrisinin altındaki integral türev alanı
Tüm bu araçlar birbiriyle ilişkilidir. Türevler limitlerden oluşturulur ve bir integral türevin tersidir.
Hesabın resmi çalışması, 17. yüzyılda Isaac Newton ve Gottfried Leibni gibi tanınmış bilim adamları ve matematikçiler tarafından başladı. Öncelikle fonksiyonlar, limitler, türevler ve integrallerle ilgilenen matematiksel bir disiplindir. 2 farklı matematik alanı vardır. İlk alt alan diferansiyel hesap olarak adlandırılır. Fonksiyon türevleri kavramını kullanarak, farklı niceliklerin nasıl değiştiğinin davranışını ve oranını inceler. Farklılaşma sürecini kullanarak, bir fonksiyonun grafiği gerçekten hesaplanabilir, analiz edilebilir ve tahmin edilebilir. İkinci alt alan denir integral hesap . Entegrasyon aslında ters türev kavramıyla ilgili farklılaşmanın tersi bir süreçtir.
Analizi gerçek dünyada ne zaman kullanıyorsunuz? Optimum bir çözüme ulaşmak için matematiksel modeller oluşturmak için kullanılır. Örneğin,
- Fizikte hareket, elektrik, ısı, ışık, harmonik, akustik, astronomi, dinamik, elektromanyetizma ve Einstein'ın izafiyet teorisinde kalkülüs kavramı kullanılır.
- Kimyada, reaksiyon hızları ve radyoaktif bozunma gibi fonksiyonları tahmin etmek için matematik kullanılabilir.
- Biyolojide, doğum ve ölüm oranları gibi oranları formüle etmek için kullanılır.
- Ekonomide, matematik, marjinal maliyeti ve marjinal geliri hesaplamak için kullanılır ve ekonomistlerin belirli bir ortamda maksimum karı tahmin etmelerini sağlar.
Birkaç örnek kullanarak hesabı anlamaya çalışalım:
Çözümün sadece matematikte olduğu senaryolardan biri, bir küpün kenarlarındaki değişime göre hacminin değişim hızının bilinmesidir. Eğer \(dy\) bir küpün hacminin değişimini ve dx de küpün kenarlarının değişimini temsil ediyorsa, o zaman \(^{dy}/_{dx}\) türev formunu kullanabiliriz. arabanın zamana göre yer değiştirmesi. x ekseni zamanı temsil eder ve y yer değiştirmeyi temsil eder. Şimdi (t1,y1) noktasındaki hızı bulabilir misiniz?
Şekil 2'yi kontrol edin, eğer araba y2 − y1 mesafesini x2 − x1 zaman aralığında katediyorsa, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Bu aynı zamanda mesafedeki değişim/zamandaki değişim yani hız olarak da yazılabilir. Yani bu grafikte bir doğrunun herhangi bir eğimi hızı verir. \(\Delta t \) küçüldükçe bu grafikte bir noktadaki anlık hızı bulmaya yaklaşıyoruz. Hızı bulmak için iki noktaya ihtiyacımız var çünkü hız, mesafedeki değişime ∕ zamandaki değişime eşittir. Zaman aralığını neredeyse 0'a indirerek bu formülü kullanarak anlık hızı bulmaya çalışıyorsanız, bu fonksiyonun türevini alıyoruz. Türev dersinde bir fonksiyonun türevini nasıl türeteceğinizi öğreneceksiniz.
Dolayısıyla, bu grafik y = t 2 + 2 olarak tanımlanırsa, herhangi bir zaman noktasındaki hız 2t olacaktır (türev formülü kullanılarak elde edilir). Artık herhangi bir zamanda anlık hızı bulabilirsiniz.
Türevleri bulma işlemine diferansiyel denir. Bir fonksiyonun türevi y = f(x) olsun. x değişkeninin değişimine göre y değerinin değişme oranının ölçüsüdür. “f” fonksiyonunun x değişkenine göre türevi olarak bilinir.
x'teki sonsuz küçük bir değişiklik dx olarak gösterilirse, y'nin x'e göre türevi dy ∕ dx olarak yazılır.
Saatte 30 km hızla giden bir araba. 4 saat sürerse kat edilen mesafe 30 × 4 = 120 km'dir. Ama burada soru şu ki, bir araba 30km∕saatlik sabit bir hızla gidebilir mi? Hayır, yolda trafik işaretleri, tümsekler ve dönüşler olacağı düşünüldüğünde hız değişecektir. Yani şimdi aynı problem, değişen hızlarda hareket eden belirli bir anda arabanın kat ettiği mesafeyi nasıl belirleyeceği konusunda karmaşık hale geliyor?
Bu sorunun matematikte bir çözümü var! Arabanın toplam yer değiştirmesi, arabanın hızının zamana göre integrali alınarak bulunabilir.
Hızın zamana göre çizildiği başka bir grafiği ele alalım. Arabanın t2− t1 zaman aralığında ne kadar yol kat ettiğini bulmak istiyorsak, o zaman mesafe hız × zamandır , bu da iki t1 ve t2 noktası arasındaki eğrinin altındaki alandır.
Alanı türetmek için integral hesabını kullanırız. Eğer hız s, zamanın t bir fonksiyonu ise, yani S = F(t), o zaman integral kullanarak bu kısmın alanını \(F(t) = \int s\cdot dt\) olarak bulabiliriz. Bu eğrinin altındaki alanı bulmak için bir fonksiyonun integralini alırız. Bunu nasıl yapacağınızı integral dersinde öğreneceksiniz. Bu grafik y = x 2 fonksiyonunu gösteriyorsa, t1= 1 - t2= 2 zamanı için eğrinin altındaki alan \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (burada C bir sabittir) = 7/3
İntegrasyon, bütünü bulmak için parçaları toplama veya toplama yöntemidir. Fonksiyonları parçalara indirgediğimiz ters bir farklılaşma sürecidir. İntegral, toplamı geniş bir ölçekte bulmak için kullanılır. Küçük toplama problemlerinin hesaplanması manuel olarak veya hesap makineleri ile yapılabilir, ancak limitlerin sonsuza kadar ulaşabildiği büyük toplama problemlerinde entegrasyon yöntemleri kullanılır.
Limit , fonksiyon o noktada tanımlanmamış olsa bile, bir fonksiyonun belirli bir nokta etrafındaki eğilimini incelememizi sağlar. Aşağıdaki fonksiyona bakalım.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
x=1 olduğunda paydası sıfır olduğu için f(1) tanımsızdır, ancak x=1'deki limiti vardır ve burada fonksiyon değerinin 2'ye yaklaştığını gösterir.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
