Обчислення - це дослідження того, як речі змінюються. Він забезпечує структуру для вивчення змін і виведення прогнозів для таких змін. Щоб зрозуміти обчислення, вам потрібно мати розуміння двох речей - чисел і функцій! Обчислення допомагає нам зрозуміти зміни між значеннями, пов’язаними функцією.
Наприклад, у вивченні поширення інфекційних захворювань ми значною мірою покладаємося на обчислення. Беруться до уваги три основні фактори,
За допомогою цих трьох змінних обчислення можна використовувати, щоб визначити, наскільки далеко і швидко поширюється хвороба, звідки вона походить і який найкращий спосіб її лікування. Оскільки швидкість зараження та одужання змінюється з часом, рівняння мають бути достатньо динамічними, щоб реагувати на нові моделі, що розвиваються щодня. Багато з цих формул є функціями часу, і один із способів думати про обчислення — розглядати його як дослідження функцій часу.
Щоб розв’язати проблему зміни величин у часі, обчислення має три інструменти:
(1) Обмеження, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : обмеження дає значення, до якого наближається функція, коли вхідні дані цієї функції наближаються до деякого числа. Межі — це інструменти для опису того, як функція наближається до значення
(2) Похідні, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : це швидкість зміни функції по відношенню до змінної. Похідна описує, як змінюється функція
(3) Інтеграл, \(\int f(x)dx\) : відповідає підсумовуванню нескінченно малих частин для визначення площі, об’єму безперервної області. Інтегральна похідна область під кривою функції
Усі ці інструменти пов’язані один з одним. Похідні будуються з обмежень, а інтеграл є оберненим до похідної.
Формальне вивчення обчислення розпочалося в 17 столітті відомими вченими та математиками, такими як Ісаак Ньютон і Готфрід Лейбні. Це математична дисципліна, яка в основному займається функціями, границями, похідними та інтегралами. Існує 2 різні області числення. Перше підполе називається диференціальним численням. Використовуючи концепцію похідних функції, він вивчає поведінку та швидкість зміни різних величин. Використовуючи процес диференціювання, графік функції можна фактично обчислити, проаналізувати та передбачити. Друге підполе називається інтегральне числення . Інтеграція насправді є процесом, зворотним диференціації, пов’язаному з концепцією антипохідної.
Коли ви використовуєте обчислення в реальному світі? Він використовується для створення математичних моделей для досягнення оптимального рішення. Наприклад,
- У фізиці поняття обчислення використовується в обчисленнях руху, електрики, тепла, світла, гармоніки, акустики, астрономії, динаміки, електромагнетизму та теорії відносності Ейнштейна.
- У хімії обчислення можна використовувати для прогнозування таких функцій, як швидкість реакції та радіоактивний розпад.
- У біології він використовується для формулювання таких показників, як народжуваність і смертність.
- В економіці обчислення використовується для обчислення граничних витрат і граничного доходу, що дозволяє економістам передбачити максимальний прибуток у певних умовах.
Давайте спробуємо зрозуміти обчислення на кількох прикладах:
Один із сценаріїв, коли рішення є лише в обчисленні, це знати швидкість зміни об’єму куба відносно зміни його сторін. Якщо \(dy\) представляє зміну об’єму куба, а dx представляє зміну сторін куба, тоді ми можемо використати похідну форму \(^{dy}/_{dx}\) . Давайте побудуємо графік переміщення автомобіля за часом. Вісь х представляє час, а у – зміщення. Тепер ви можете знайти, якою була швидкість у точці (t1,y1)?
Перевірте малюнок 2, якщо автомобіль долає відстань y2 − y1 за інтервал часу x2 − x1, тоді \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Це також можна записати як зміну відстані/зміну часу, що є швидкістю. Тож будь-який нахил лінії на цьому графіку дає швидкість. у міру зменшення \(\Delta t \) ми наближаємося до визначення миттєвої швидкості в точці на цьому графіку. Щоб знайти швидкість, нам потрібні дві точки, оскільки швидкість дорівнює зміні відстані ∕ зміні в часі. Якщо ви намагаєтеся знайти миттєву швидкість за допомогою цієї формули, скорочуючи інтервал часу майже до 0, тоді ми отримуємо похідну цієї функції. Як виводити похідну функції, ви дізнаєтесь на уроці «Похідна».
Отже, якщо цей графік визначено як y = t 2 + 2 , тоді швидкість у будь-який момент часу дорівнюватиме 2t (отримано за допомогою формули похідної). Тепер ви можете знайти миттєву швидкість у будь-який момент часу.
Процес знаходження похідних називається диференціюванням. Нехай похідною функції є y = f(x). Це міра швидкості, з якою значення y змінюється відносно зміни змінної x. Він відомий як похідна функції «f» по змінній x.
Якщо нескінченно малу зміну x позначають як dx, то похідну від y по x записують як dy ∕ dx.
Автомобіль, який їде зі швидкістю 30 км на годину. Якщо він їде 4 години, то пройдена відстань дорівнює 30 × 4 = 120 км. Але тут виникає питання, чи може автомобіль рухатися зі сталою швидкістю 30 км/год? Ні, враховуючи, що на дорозі будуть сигнали світлофора, нерівності та повороти, швидкість буде різною. Тож тепер та сама проблема стає складною: як визначити відстань, яку проїхав автомобіль у певний момент, який рухався з різними швидкостями?
Ця задача має рішення в обчисленні! Повний об’єм автомобіля можна знайти, вирахувавши інтеграл швидкості автомобіля за часом.
Розглянемо ще один графік, на якому швидкість відкладено залежно від часу. Якщо ми хочемо знайти, яку відстань проїхав автомобіль за проміжок часу t2− t1, тоді відстань дорівнює швидкості × часу , що є площею під кривою між двома точками t1 і t2.
Для визначення площі ми використовуємо інтегральне числення. Якщо швидкість s є функцією часу t, тобто S = F(t), то за допомогою інтеграла ми можемо знайти площу цієї частини як \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Щоб знайти площу під цією кривою, ми виводимо інтегрування функції. Як це зробити ви дізнаєтесь на інтегральному уроці. Якщо на цьому графіку відображається функція y = x 2 , тоді площа під кривою для часу t1= 1 до t2= 2 дорівнює \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (де C — константа) = 7/3
Інтеграція - це метод додавання або підсумовування частин для знаходження цілого. Це процес, зворотний диференціації, коли ми зводимо функції на частини. Інтеграл використовується для знаходження суми в широкому масштабі. Розрахунок малих задач на додавання можна виконувати вручну або за допомогою калькуляторів, але для великих задач на додавання, де межі можуть сягати навіть нескінченності, використовуються методи інтегрування.
Обмеження дозволяє нам досліджувати тенденцію функції навколо даної точки, навіть якщо функція не визначена в цій точці. Давайте розглянемо функцію нижче.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Оскільки його знаменник дорівнює нулю, коли x=1, f(1) не визначено, проте існує його межа при x=1 і вказує, що значення функції наближається до 2.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
