کیلکولس اس بات کا مطالعہ ہے کہ چیزیں کیسے بدلتی ہیں۔ یہ تبدیلی کا مطالعہ کرنے اور اس طرح کی تبدیلی کے لیے پیشین گوئیاں نکالنے کے لیے ایک فریم ورک فراہم کرتا ہے۔ کیلکولس کو سمجھنے کے لیے آپ کو دو چیزوں کی سمجھ کی ضرورت ہے - اعداد اور افعال! کیلکولس ان اقدار کے درمیان تبدیلیوں کو سمجھنے میں ہماری مدد کرتا ہے جو فنکشن سے متعلق ہیں۔
مثال کے طور پر، متعدی بیماری کے پھیلاؤ کے مطالعہ میں، ہم کیلکولس پر بہت زیادہ انحصار کرتے ہیں۔ تین اہم عوامل کو مدنظر رکھا جاتا ہے،
ان تین متغیرات کے ساتھ، کیلکولس کا استعمال اس بات کا تعین کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے کہ کوئی بیماری کتنی تیزی سے پھیل رہی ہے، اس کی ابتدا کہاں سے ہوئی ہے، اور اس کے علاج کا بہترین طریقہ کیا ہے۔ چونکہ وقت کے ساتھ انفیکشن اور صحت یابی کی شرحیں بدلتی رہتی ہیں، لہٰذا مساواتیں اتنی متحرک ہونی چاہئیں کہ وہ ہر روز تیار ہونے والے نئے ماڈلز کا جواب دے سکیں۔ ان میں سے بہت سے فارمولے وقت کے افعال ہیں، اور کیلکولس کے بارے میں سوچنے کا ایک طریقہ اسے وقت کے افعال کے مطالعہ کے طور پر دیکھنا ہے۔
وقت کے حوالے سے مقدار کو تبدیل کرنے کے مسئلے سے نمٹنے کے لیے، کیلکولس کے پاس تین ٹولز ہیں:
(1) حدود، \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : ایک حد وہ قدر دیتی ہے جو فنکشن تک پہنچتی ہے کیونکہ اس فنکشن کے ان پٹ کچھ نمبر کے قریب ہوتے جاتے ہیں۔ حدیں یہ بیان کرنے کے لیے ٹولز ہیں کہ فنکشن کسی قدر تک کیسے پہنچتا ہے۔
(2) مشتقات، \(\frac{d}{dx} f(x)\) : یہ متغیر کے حوالے سے کسی فنکشن کی تبدیلی کی شرح ہے۔ مشتق بیان کرتا ہے کہ فنکشن کیسے بدلتا ہے۔
(3) انٹیگرل، \(\int f(x)dx\) : مسلسل خطے کے رقبہ، حجم کو تلاش کرنے کے لیے لامحدود ٹکڑوں کو جمع کرنے کے مساوی ہے۔ کسی فنکشن کے منحنی خطوط کے نیچے انٹیگرل ڈیریو ایریا
یہ تمام اوزار ایک دوسرے سے متعلق ہیں۔ مشتقات کو حدود سے بنایا جاتا ہے اور ایک انٹیگرل مشتق کا الٹا ہوتا ہے۔
کیلکولس کا باقاعدہ مطالعہ 17 ویں صدی میں معروف سائنسدانوں اور ریاضی دانوں جیسے آئزک نیوٹن اور گوٹ فرائیڈ لیبنی نے شروع کیا۔ یہ ایک ریاضیاتی ڈسپلن ہے جو بنیادی طور پر افعال، حدود، مشتقات اور انضمام سے متعلق ہے۔ کیلکولس کے 2 مختلف شعبے ہیں۔ پہلے ذیلی فیلڈ کو ڈیفرینشل کیلکولس کہا جاتا ہے۔ فنکشن ڈیریویٹوز کے تصور کا استعمال کرتے ہوئے، یہ رویے اور شرح کا مطالعہ کرتا ہے کہ مختلف مقداریں کیسے تبدیل ہوتی ہیں۔ تفریق کے عمل کا استعمال کرتے ہوئے، فنکشن کے گراف کو اصل میں شمار کیا جا سکتا ہے، تجزیہ کیا جا سکتا ہے، اور پیش گوئی کی جا سکتی ہے. دوسرا ذیلی فیلڈ کہا جاتا ہے۔ انٹیگرل کیلکولس انضمام دراصل تفریق کا الٹا عمل ہے، جس کا تعلق اینٹی ڈیریویٹیو کے تصور سے ہے۔
آپ حقیقی دنیا میں کیلکولس کب استعمال کرتے ہیں؟ یہ ایک بہترین حل پر پہنچنے کے لیے ریاضیاتی ماڈل بنانے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر،
- طبیعیات میں، کیلکولس کا تصور حرکت، بجلی، حرارت، روشنی، ہم آہنگی، صوتیات، فلکیات، حرکیات، برقی مقناطیسیت میں استعمال ہوتا ہے اور آئن سٹائن کے نظریہ اضافیت میں کیلکولس استعمال ہوتا ہے۔
- کیمسٹری میں، کیلکولس کا استعمال افعال کی پیش گوئی کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے جیسے کہ رد عمل کی شرح اور تابکار کشی۔
- حیاتیات میں، اس کا استعمال شرح پیدائش اور موت کی شرح جیسے مرتب کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔
- معاشیات میں، کیلکولس کا استعمال معمولی لاگت اور معمولی آمدنی کی گنتی کے لیے کیا جاتا ہے، جس سے ماہرین اقتصادیات کو ایک مخصوص ترتیب میں زیادہ سے زیادہ منافع کی پیشن گوئی کرنے کے قابل بناتا ہے۔
آئیے چند مثالوں سے حساب کتاب کو سمجھنے کی کوشش کریں:
ایک ایسے منظرنامے میں جہاں حل صرف کیلکولس میں ہوتا ہے اس کے اطراف میں تبدیلی کے حوالے سے مکعب کے حجم کی تبدیلی کی شرح کو جاننا ہے۔ اگر \(dy\) مکعب کے حجم کی تبدیلی کو ظاہر کرتا ہے اور dx مکعب کے اطراف کی تبدیلی کو ظاہر کرتا ہے، تو ہم مشتق شکل \(^{dy}/_{dx}\) استعمال کر سکتے ہیں۔ آئیے ہم پلاٹ کریں وقت کے حوالے سے کار کی نقل مکانی ایکس محور وقت کی نمائندگی کرتا ہے اور y نقل مکانی ہے۔ اب کیا آپ تلاش کر سکتے ہیں کہ پوائنٹ (t1,y1) پر رفتار کیا تھی؟
اعداد و شمار 2 کو چیک کریں، اگر کار وقت کے وقفے پر y2 − y1 کا فاصلہ طے کرتی ہے x2 − x1 تو \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) اسے فاصلے میں تبدیلی/وقت میں تبدیلی کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے، جو کہ رفتار ہے۔ تو اس گراف میں کسی بھی لکیر کی ڈھلوان رفتار دیتی ہے۔ جیسا کہ \(\Delta t \) کو کم کرتے ہیں ہم اس گراف میں ایک نقطہ پر فوری رفتار تلاش کرنے کے قریب پہنچ جاتے ہیں۔ رفتار تلاش کرنے کے لیے ہمیں دو پوائنٹس کی ضرورت ہے کیونکہ رفتار فاصلے میں تبدیلی ∕ وقت میں تبدیلی کے برابر ہے۔ اگر آپ اس فارمولے کو استعمال کرتے ہوئے وقت کے وقفے کو تقریباً 0 تک کم کر کے فوری رفتار تلاش کرنے کی کوشش کر رہے ہیں، تو ہم اس فنکشن کا اخذ کر رہے ہیں۔ آپ سیکھیں گے کہ مشتق سبق میں فنکشن کا مشتق کیسے نکالا جائے۔
لہذا اگر اس گراف کو y = t 2 + 2 کے طور پر بیان کیا جائے تو کسی بھی وقت رفتار 2t ہوگی (ماخوذ فارمولہ استعمال کرتے ہوئے)۔ اب آپ کسی بھی وقت فوری رفتار تلاش کر سکتے ہیں۔
مشتقات تلاش کرنے کے عمل کو تفریق کہا جاتا ہے۔ چلیں، فنکشن کا مشتق y = f(x) ہے۔ یہ اس شرح کا پیمانہ ہے جس پر y کی قدر متغیر x کی تبدیلی کے حوالے سے تبدیل ہوتی ہے۔ یہ متغیر x کے حوالے سے فنکشن "f" کے مشتق کے طور پر جانا جاتا ہے۔
اگر x میں لامحدود تبدیلی کو dx کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، تو x کے حوالے سے y کا مشتق dy ∕ dx لکھا جاتا ہے۔
ایک کار جو 30 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے سفر کرتی ہے۔ اگر یہ 4 گھنٹے چلتی ہے تو طے شدہ فاصلہ 30 × 4 = 120 کلومیٹر ہے۔ لیکن یہاں سوال یہ ہے کہ کیا کوئی کار 30km∕hour کی مستقل رفتار سے چل سکتی ہے؟ نہیں۔ تو اب وہی مسئلہ پیچیدہ ہو جاتا ہے، اس کے لیے کہ ایک خاص لمحے میں کار کے ذریعے طے کی گئی مسافت کا تعین کیسے کیا جائے جو مختلف رفتار سے چل رہا تھا؟
اس مسئلے کا حساب کتاب میں حل ہے! وقت کے حوالے سے کار کی رفتار کے اٹوٹ انگ کو لے کر کار کی کل نقل مکانی معلوم کی جا سکتی ہے۔
آئیے ایک اور گراف پر غور کریں جہاں وقت کے حوالے سے رفتار کی منصوبہ بندی کی گئی ہے۔ اگر ہم یہ معلوم کرنا چاہتے ہیں کہ کار نے وقت کے وقفہ t2− t1 میں کتنا فاصلہ طے کیا، تو فاصلہ رفتار × وقت ہے ، جو دو پوائنٹس t1 اور t2 کے درمیان وکر کے نیچے کا علاقہ ہے۔
رقبہ اخذ کرنے کے لیے ہم انٹیگرل کیلکولس کا استعمال کرتے ہیں۔ اگر رفتار s وقت t کا فعل ہے، یعنی S = F(t) تو انٹیگرل کا استعمال کرتے ہوئے ہم اس حصے کا رقبہ \(F(t) = \int s\cdot dt\) طور پر تلاش کر سکتے ہیں۔ اس وکر کے نیچے کا علاقہ تلاش کرنے کے لیے ہم فنکشن کا انضمام اخذ کرتے ہیں۔ ایسا کرنے کا طریقہ آپ لازمی سبق میں سیکھیں گے۔ اگر یہ گراف فنکشن y = x 2 کو پلاٹ کرتا ہے تو وقت t1= 1 سے t2= 2 کے لئے وکر کے نیچے کا رقبہ ہے \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (جہاں C ایک مستقل ہے) = 7/3
انضمام پورے کو تلاش کرنے کے لیے حصوں کو شامل کرنے یا جمع کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ یہ تفریق کا ایک الٹا عمل ہے، جہاں ہم افعال کو حصوں میں کم کرتے ہیں۔ انٹیگرل کا استعمال وسیع پیمانے پر خلاصہ تلاش کرنے کے لیے کیا جاتا ہے۔ چھوٹے اضافے کے مسائل کا حساب دستی طور پر یا کیلکولیٹر کے ذریعے کیا جا سکتا ہے، لیکن بڑے اضافے کے مسائل کے لیے، جہاں حدیں لامحدود تک پہنچ سکتی ہیں، انضمام کے طریقے استعمال کیے جاتے ہیں۔
ایک حد ہمیں کسی مخصوص نقطہ کے ارد گرد فنکشن کے رجحان کی جانچ کرنے کی اجازت دیتی ہے یہاں تک کہ جب فنکشن کی وضاحت پوائنٹ پر نہ کی گئی ہو۔ آئیے ذیل میں فنکشن کو دیکھیں۔
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
چونکہ اس کا ڈینومینیٹر صفر ہے جب x=1، f(1) کی وضاحت نہیں کی گئی ہے، تاہم، x=1 پر اس کی حد موجود ہے اور اشارہ کرتا ہے کہ فنکشن ویلیو وہاں 2 تک پہنچتی ہے۔
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
