Hisoblash narsalarning qanday o'zgarishini o'rganadi. U o'zgarishlarni o'rganish va bunday o'zgarishlarni bashorat qilish uchun asos yaratadi. Hisobni tushunish uchun siz ikkita narsani - raqamlar va funktsiyalarni tushunishingiz kerak! Hisoblash bizga funktsiya bilan bog'liq bo'lgan qiymatlar orasidagi o'zgarishlarni tushunishga yordam beradi.
Masalan, yuqumli kasallikning tarqalishini o'rganishda biz juda ko'p hisob-kitoblarga tayanamiz. Uchta asosiy omil hisobga olinadi,
Ushbu uchta o'zgaruvchi bilan hisob-kitoblar kasallikning qanchalik uzoq va tez tarqalishini, qaerdan kelib chiqqanligini va uni davolashning eng yaxshi usulini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Infektsiya va tiklanish tezligi vaqt o'tishi bilan o'zgarganligi sababli, tenglamalar har kuni rivojlanayotgan yangi modellarga javob beradigan darajada dinamik bo'lishi kerak. Ushbu formulalarning ko'pchiligi vaqtning funktsiyalari bo'lib, hisob haqida o'ylashning bir usuli uni vaqt funktsiyalarini o'rganish sifatida ko'rishdir.
Vaqtga nisbatan miqdorlarni o'zgartirish muammosini hal qilish uchun hisob uchta vositaga ega:
(1) Limitlar, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Limit funksiya kirishlari ba'zi bir songa yaqinlashganda va yaqinlashganda, funksiya yaqinlashadigan qiymatni beradi. Limitlar funksiya qiymatga qanday yaqinlashishini tavsiflovchi vositalardir
(2) Hosilalar, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Bu funksiyaning o‘zgaruvchiga nisbatan o‘zgarish tezligi. Hosila funktsiya qanday o'zgarishini tavsiflaydi
(3) Integral, \(\int f(x)dx\) : Uzluksiz hududning maydoni, hajmini topish uchun cheksiz kichik bo'laklarni yig'ishga mos keladi. Funktsiya egri chizig'i ostidagi integral hosila maydoni
Ushbu vositalarning barchasi bir-biri bilan bog'liq. Hosilalar chegaralardan qurilgan va integral hosilaga teskari hisoblanadi.
Hisob-kitoblarni rasmiy o'rganish 17-asrda Isaak Nyuton va Gotfrid Leybni kabi taniqli olimlar va matematiklar tomonidan boshlangan. Bu matematika intizomi boʻlib, u asosan funksiyalar, limitlar, hosilalar va integrallar bilan bogʻliq. Hisoblashning 2 xil sohasi mavjud. Birinchi kichik maydon differensial hisob deb ataladi. Funktsiya hosilalari kontseptsiyasidan foydalanib, u turli miqdorlarning o'zgarishining xatti-harakati va tezligini o'rganadi. Differensiallash jarayonidan foydalanib, funktsiya grafigini haqiqatda hisoblash, tahlil qilish va bashorat qilish mumkin. Ikkinchi kichik maydon deyiladi integral hisob . Integratsiya aslida antiderivativ tushunchasi bilan bog'liq bo'lgan farqlashning teskari jarayonidir.
Haqiqiy dunyoda qachon hisobdan foydalanasiz? U optimal yechimga erishish uchun matematik modellarni yaratish uchun ishlatiladi. Masalan,
- Fizikada hisob tushunchasi harakat, elektr, issiqlik, yorug'lik, garmonika, akustika, astronomiya, dinamika, elektromagnetizm va Eynshteynning nisbiylik nazariyasida hisobdan foydalaniladi.
- Kimyoda hisob-kitoblar reaktsiya tezligi va radioaktiv parchalanish kabi funktsiyalarni bashorat qilish uchun ishlatilishi mumkin.
- Biologiyada u tug'ilish va o'lim ko'rsatkichlari kabi ko'rsatkichlarni shakllantirish uchun ishlatiladi.
- Iqtisodiyotda hisob marjinal xarajat va marjinal daromadni hisoblash uchun ishlatiladi, bu iqtisodchilarga ma'lum bir sharoitda maksimal foydani taxmin qilish imkonini beradi.
Keling, bir nechta misollar yordamida hisobni tushunishga harakat qilaylik:
Yechim faqat hisobda bo'lgan stsenariylardan biri kub hajmining uning tomonlari o'zgarishiga nisbatan o'zgarish tezligini bilishdir. Agar \(dy\) kub hajmining o'zgarishini va dx kub tomonlarining o'zgarishini ifodalasa, u holda hosila shaklida \(^{dy}/_{dx}\) foydalanishimiz mumkin. avtomobilning vaqtga nisbatan siljishi. X o'qi vaqtni, y esa siljishni ifodalaydi. Endi siz (t1,y1) nuqtadagi tezlikni topa olasizmi?
2-rasmni tekshiring, agar avtomobil x2 - x1 vaqt oralig'ida y2 - y1 masofani bosib o'tsa, \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Buni masofaning o'zgarishi/vaqtning o'zgarishi sifatida ham yozish mumkin, ya'ni tezlik. Demak, ushbu grafikdagi chiziqning istalgan qiyaligi tezlikni beradi. \(\Delta t \) kamayishi bilan biz ushbu grafikdagi nuqtadagi oniy tezlikni topishga yaqinlashamiz. Tezlikni topish uchun bizga ikkita nuqta kerak, chunki tezlik masofaning o'zgarishi ∕ vaqt o'zgarishiga teng. Agar siz ushbu formuladan foydalanib, vaqt oralig'ini deyarli 0 ga qisqartirish orqali oniy tezlikni topishga harakat qilsangiz, biz ushbu funktsiyaning hosilasini olamiz. “Hosila” darsida funksiyaning hosilasini qanday chiqarishni bilib olasiz.
Shunday qilib, agar bu grafik y = t 2 + 2 sifatida aniqlangan bo'lsa, u holda istalgan vaqtda tezlik 2t bo'ladi (hosil formulasi yordamida olingan). Endi siz istalgan vaqtda oniy tezlikni topishingiz mumkin.
Hosilalarni topish jarayoni differensiallash deyiladi. Funktsiyaning hosilasi y = f(x) bo'lsin. Bu x o'zgaruvchining o'zgarishiga nisbatan y qiymatining o'zgarishi tezligining o'lchovidir. U x o'zgaruvchisiga nisbatan "f" funktsiyasining hosilasi sifatida tanilgan.
Agar x ning cheksiz kichik o'zgarishi dx deb belgilansa, y ning x ga nisbatan hosilasi dy ∕ dx deb yoziladi.
Soatiga 30 km tezlikda yuradigan mashina. Agar u 4 soat yursa, bosib o'tgan masofa 30 × 4 = 120 km. Ammo bu erda savol tug'iladi: mashina 30 km∕soat doimiy tezlikda yura oladimi? Yo'q, yo'lda svetoforlar, to'qnashuvlar va burilishlar bo'lishini hisobga olsak, tezlik har xil bo'ladi. Shunday qilib, endi xuddi shu muammo murakkab bo'lib qoladi, chunki har xil tezlikda ishlaydigan ma'lum bir lahzada avtomobil bosib o'tgan masofani qanday aniqlash mumkin?
Bu muammoni hisoblashda yechim bor! Avtomobilning umumiy siljishini avtomobil tezligining vaqtga nisbatan integralini olish orqali topish mumkin.
Tezlik vaqtga nisbatan chizilgan boshqa grafikni ko'rib chiqaylik. Agar avtomobil t2− t1 vaqt oralig‘ida qancha masofani bosib o‘tganini topmoqchi bo‘lsak, u holda masofa tezlik × vaqt bo‘lib , bu ikki t1 va t2 nuqtalar orasidagi egri chiziq ostidagi maydondir.
Maydonni olish uchun biz integral hisobdan foydalanamiz. Agar s tezlik t vaqtning funksiyasi, ya'ni S = F(t) bo'lsa, integraldan foydalanib, biz ushbu qismning maydonini \(F(t) = \int s\cdot dt\) shaklida topishimiz mumkin. Ushbu egri chiziq ostidagi maydonni topish uchun biz funktsiyaning integrasiyasini olamiz. Buni qanday qilishni siz integral darsda bilib olasiz. Agar ushbu grafik y = x 2 funksiyani chizsa, t1= 1 dan t2= 2 gacha boʻlgan vaqt oraligʻida egri chiziq ostidagi maydon \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) boʻladi. \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (bu erda C doimiy) = 7/3
Integratsiya - bu butunni topish uchun qismlarni qo'shish yoki umumlashtirish usuli. Bu farqlashning teskari jarayoni bo'lib, biz funktsiyalarni qismlarga ajratamiz. Integral keng miqyosdagi yig'indini topish uchun ishlatiladi. Kichik qo'shish masalalarini hisoblash qo'lda yoki kalkulyator yordamida amalga oshirilishi mumkin, lekin chegaralar hatto cheksizgacha bo'lgan katta qo'shish muammolari uchun integratsiya usullari qo'llaniladi.
Limit funksiya nuqtada aniqlanmagan bo'lsa ham, berilgan nuqta atrofidagi funktsiya tendentsiyasini tekshirishga imkon beradi. Keling, quyidagi funktsiyani ko'rib chiqaylik.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
X=1 bo'lganda uning maxraji nolga teng bo'lgani uchun f(1) aniqlanmagan, ammo uning x=1dagi chegarasi mavjud va u erda funksiya qiymati 2 ga yaqinlashayotganini ko'rsatadi.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
