Giải tích là nghiên cứu về cách mọi thứ thay đổi. Nó cung cấp một khuôn khổ để nghiên cứu sự thay đổi và suy ra những dự đoán cho sự thay đổi đó. Để hiểu phép tính, bạn cần hiểu hai điều - số và hàm! Giải tích giúp chúng ta hiểu những thay đổi giữa các giá trị có quan hệ với nhau bởi một hàm.
Ví dụ, trong nghiên cứu về sự lây lan của bệnh truyền nhiễm, chúng tôi chủ yếu dựa vào phép tính. Ba yếu tố chính được tính đến,
Với ba biến số này, tính toán có thể được sử dụng để xác định mức độ lan rộng và nhanh chóng của một căn bệnh, nó bắt nguồn từ đâu và cách tốt nhất có thể để điều trị nó là gì. Vì tỷ lệ lây nhiễm và phục hồi thay đổi theo thời gian nên các phương trình phải đủ động để đáp ứng với các mô hình mới phát triển hàng ngày. Nhiều công thức trong số này là các hàm của thời gian và một cách để nghĩ về phép tính là xem nó như một nghiên cứu về các hàm của thời gian.
Để giải quyết vấn đề thay đổi số lượng theo thời gian, giải tích có ba công cụ:
(1) Giới hạn, \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) : Giới hạn đưa ra giá trị mà một hàm tiến tới khi đầu vào của hàm đó ngày càng tiến gần đến một số nào đó. Giới hạn là công cụ để mô tả cách một hàm tiếp cận một giá trị
(2) Đạo hàm, \(\frac{d}{dx} f(x)\) : Đó là tốc độ thay đổi của một hàm đối với một biến. Đạo hàm mô tả cách một hàm thay đổi
(3) Tích phân, \(\int f(x)dx\) : Tương ứng với việc tính tổng các phần tử vô cùng bé để tìm diện tích, thể tích của một miền liên tục. Tích phân dẫn xuất diện tích bên dưới một đường cong của một hàm
Tất cả những công cụ này có liên quan với nhau. Đạo hàm được xây dựng từ các giới hạn và tích phân là nghịch đảo của đạo hàm.
Nghiên cứu chính thức về giải tích bắt đầu từ thế kỷ 17 bởi các nhà khoa học và toán học nổi tiếng như Isaac Newton và Gottfried Leibni. Đó là một môn toán học chủ yếu liên quan đến các hàm, giới hạn, đạo hàm và tích phân. Có 2 lĩnh vực tính toán khác nhau. Trường con đầu tiên được gọi là phép tính vi phân. Sử dụng khái niệm đạo hàm hàm, nó nghiên cứu hành vi và tốc độ thay đổi của các đại lượng khác nhau. Bằng cách sử dụng quy trình vi phân, đồ thị của một hàm thực sự có thể được tính toán, phân tích và dự đoán. Trường con thứ hai được gọi là tích phân . Tích hợp thực sự là quá trình ngược lại của khác biệt, liên quan đến khái niệm phản phái sinh.
Khi nào bạn sử dụng tính toán trong thế giới thực? Nó được sử dụng để tạo ra các mô hình toán học nhằm đi đến một giải pháp tối ưu. Ví dụ,
- Trong vật lý, khái niệm giải tích được sử dụng trong chuyển động, điện, nhiệt, ánh sáng, sóng hài, âm học, thiên văn học, động lực học, điện từ và thuyết tương đối của Einstein sử dụng giải tích.
- Trong hóa học, giải tích có thể được sử dụng để dự đoán các chức năng như tốc độ phản ứng và phân rã phóng xạ.
- Trong sinh học, nó được sử dụng để hình thành các tỷ lệ như tỷ lệ sinh và tỷ lệ tử vong.
- Trong kinh tế học, phép tính được sử dụng để tính chi phí cận biên và doanh thu cận biên, giúp các nhà kinh tế dự đoán lợi nhuận tối đa trong một bối cảnh cụ thể.
Chúng ta hãy cố gắng hiểu phép tính bằng một vài ví dụ:
Một trong những tình huống mà giải pháp chỉ có trong phép tính là biết tốc độ thay đổi thể tích của khối lập phương đối với sự thay đổi các cạnh của nó. Nếu \(dy\) đại diện cho sự thay đổi thể tích của một khối lập phương và dx đại diện cho sự thay đổi các cạnh của khối lập phương, thì chúng ta có thể sử dụng dạng đạo hàm \(^{dy}/_{dx}\) . độ dời của ô tô theo thời gian. Trục x biểu thị thời gian và y là độ dịch chuyển. Bây giờ bạn có thể tìm tốc độ tại điểm (t1,y1) là bao nhiêu không?
Kiểm tra hình 2, nếu ô tô đi được quãng đường y2 − y1 tại khoảng thời gian x2 − x1 thì \(tan\theta = \ ^p/_b = (y2-y1) / (x2 -x1) = \Delta y / \Delta x\) Điều này cũng có thể được viết dưới dạng thay đổi khoảng cách/thay đổi thời gian, đó là tốc độ. Vì vậy, bất kỳ hệ số góc nào của một đường trong biểu đồ này đều cho tốc độ. khi \(\Delta t \) giảm, chúng ta tiến gần hơn đến việc tìm tốc độ tức thời tại một điểm trong biểu đồ này. Để tìm tốc độ, chúng ta cần hai điểm vì tốc độ bằng với sự thay đổi về khoảng cách ∕ thay đổi về thời gian. Nếu bạn đang cố gắng tìm tốc độ tức thời bằng cách sử dụng công thức này bằng cách giảm khoảng thời gian xuống gần bằng 0, thì chúng ta đang lấy đạo hàm của hàm này. Bạn sẽ học cách tính đạo hàm của một hàm số trong bài học Đạo hàm.
Vì vậy, nếu đồ thị này được xác định là y = t 2 + 2 thì tốc độ tại bất kỳ thời điểm nào sẽ là 2t (được tính bằng công thức đạo hàm). Bây giờ bạn có thể tìm thấy tốc độ tức thời tại bất kỳ thời điểm nào.
Quá trình tìm kiếm các dẫn xuất được gọi là sự khác biệt. Giả sử, đạo hàm của một hàm là y = f(x). Nó là phép đo tốc độ mà giá trị của y thay đổi đối với sự thay đổi của biến x. Nó được gọi là đạo hàm của hàm “f”, đối với biến x.
Nếu một biến thiên vô cùng nhỏ của x được ký hiệu là dx, thì đạo hàm của y theo x được viết là dy ∕ dx.
Một ô tô đi với vận tốc 30 km một giờ. Nếu xe đi trong 4 giờ thì quãng đường xe đi là 30 × 4 = 120 km. Nhưng ở đây câu hỏi đặt ra là liệu một chiếc ô tô có thể chạy với tốc độ không đổi 30km∕giờ không? Không, vì đường sẽ có tín hiệu giao thông, va chạm và rẽ nên tốc độ sẽ thay đổi. Vì vậy, bây giờ cùng một vấn đề trở nên phức tạp, đó là làm thế nào để xác định quãng đường ô tô đi được tại một thời điểm cụ thể khi ô tô đang chạy với các tốc độ khác nhau?
Vấn đề này có một giải pháp trong tính toán! Độ dịch chuyển toàn phần của ô tô có thể tìm được bằng cách lấy tích phân vận tốc của ô tô theo thời gian.
Chúng ta hãy xem xét một đồ thị khác trong đó tốc độ được vẽ theo thời gian. Nếu chúng ta muốn tìm quãng đường ô tô đã đi trong khoảng thời gian t2− t1, thì quãng đường đó là tốc độ × thời gian , là diện tích bên dưới đường cong giữa hai điểm t1 và t2.
Để tính diện tích ta sử dụng phép tính tích phân. Nếu tốc độ s là một hàm của thời gian t, tức là S = F(t) thì sử dụng tích phân, chúng ta có thể tìm diện tích của phần này là \(F(t) = \int s\cdot dt\) . Để tìm diện tích bên dưới đường cong này, chúng ta lấy tích phân của một hàm. Làm thế nào để làm điều đó bạn sẽ học trong bài tích phân. Nếu đồ thị này biểu thị hàm số y = x 2 thì diện tích bên dưới đường cong trong khoảng thời gian từ t1= 1 đến t2= 2 \(\int _1^2{x^2} = \frac{x^3}{3} + C\) (trong đó C là hằng số) = 7/3
Tích hợp là một phương pháp thêm hoặc tổng hợp các bộ phận để tìm ra tổng thể. Đó là một quá trình phân biệt ngược lại, trong đó chúng tôi chia các chức năng thành các phần. Tích phân được sử dụng để tìm tổng trong một phạm vi rộng lớn. Việc tính toán các bài toán cộng nhỏ có thể được thực hiện thủ công hoặc bằng máy tính, nhưng đối với các bài toán cộng lớn, trong đó các giới hạn có thể đạt tới vô cùng, thì các phương pháp tích phân được sử dụng.
Một giới hạn cho phép chúng ta kiểm tra xu hướng của một hàm xung quanh một điểm đã cho ngay cả khi hàm không được xác định tại điểm đó. Chúng ta hãy xem chức năng dưới đây.
\(f(x)=\frac{x^2−1}{x−1}\)
Vì mẫu số của nó bằng 0 khi x=1, nên f(1) không xác định, tuy nhiên, giới hạn của nó tại x=1 tồn tại và chỉ ra rằng giá trị của hàm tiến tới 2 tại đó.
\(\lim\limits_{x \to1} \frac{ x^2 - 1}{x-1} =\lim\limits_{x \to1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} =2\)
