Back to the topics list

المعادلات التربيعية

ما هي المعادلة التربيعية؟

المعادلات التربيعية هي المعادلات متعددة الحدود من الدرجة 2 في متغير واحد. الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية في متغير واحد هي الفأس ² + bx + c حيث a و b و c و ∈ R و a ≠ 0. قيم x التي تحقق المعادلة التربيعية هي جذور المعادلة التربيعية. دائمًا ما يكون للمعادلة التربيعية جذرين. قد تكون طبيعة الجذور إما حقيقية أو خيالية.

في هذا الدرس ، سنتناول طرقًا مختلفة لحل المعادلات التربيعية.

حل المعادلة التربيعية باستخدام التحليل

حل x ² + 2x - 15 = 0

الخطوة 1: عبر عن المعادلة بالصيغة الفأس ² + ب س + ج. هذه المعادلة موجودة بالفعل في هذا الشكل.

الخطوة 2 : التحليل إلى عوامل الفأس ² + ب س + ج.
× ² + 2 س - 15
x ² + 5x - 3x −15 ⇒ س (س + 5) - 3 (س + 5)

الخطوة 3: ضع كل عامل = 0.
(س - 3) (س + 5) = 0

الخطوة 4: حل كل معادلة ناتجة.
س - 3 = 0 س = 3
س + 5 = 0 ⇒x = −5

الجواب: س = 3 ، −5

حل المعادلة التربيعية باستخدام الصيغة

دع المعادلة التربيعية المعطاة تكون الفأس ² + bx + c = 0 ، حيث a ≠ 0. لحل هذه المعادلة نحصل على قيمة x كـ \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

وبالتالي فإن جذور المعادلة المعطاة هي \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) ، \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

فحص طبيعة الجذور
للمعادلة التربيعية الفأس ² + bx + c = 0 ، a ≠ 0 ، b ² - 4ac يسمى المميز. يمكننا الحصول على معلومات حول طبيعة الجذور من خلال إيجاد قيمة المميز.

مثال: 4x ² + 6x + 10
هنا ب = 6 ، أ = 4 ، ج = 10 لذلك ، \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
جذور هذه المعادلة غير واقعية أو خيالية.

مثال: 4x ² + 4x + 1
هنا ب = 4 ، أ = 4 ، ج = 1 إذن ، ⁴ 2-4⋅4⋅1 = 0
الجذور حقيقية ومتساوية.

اختزال المعادلة إلى الصيغة التربيعية

قد لا يتم إعطاء العديد من المعادلات باعتبارها كثيرة الحدود من الدرجة الثانية أو الشكل الفأس ² + bx + c = 0. لكن يمكن اختزالها إلى المعادلة التربيعية باستخدام التحويل الجبري المناسب.

مثال: حل \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

انقل 3 إلى الجانب الأيمن ، وبالتالي \(\sqrt{x+9} = x -3\)

تربيع كلا الجانبين
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

بما أن x = 0 ، لا تحقق هذا الشرط ، لذا فإن x = 7 هو الجذر الوحيد.

دعونا نحل المسائل الكلامية التي تتضمن المعادلات التربيعية.
مثال: في القاعة ، يقل عدد المقاعد في كل صف بمقدار 8 مقاعد عن عدد الصفوف. كم عدد المقاعد في كل صف إذا كان هناك 609 مقاعد في القاعة؟
الحل: اجعل عدد الصفوف x. إذن ، عدد المقاعد في كل صف هو x - 8. إذن ، x⋅ (x - 8) = 609
x ² −8x - 609 = 0 x ^2-29x + 21x - 609 = 0
س⋅ (س − 29) + 21⋅ (س − 29) = 0 ⇒ (س − 29) ⋅ (س + 21) = 0
لأن x لا يمكن أن يكون سالبًا ، لذلك x = 29.

عدد المقاعد في كل صف = 29-8 = 21