Back to the topics list

kvadrat tənliklər

Kvadrat tənlik nədir?

Kvadrat tənliklər bir dəyişəndə 2-ci dərəcəli çoxhədli tənliklərdir. Bir dəyişənli kvadrat tənliyin standart forması belədir balta ² + bx + c burada a, b, c, ∈ R və a ≠ 0. Kvadrat tənliyi təmin edən x-in qiymətləri kvadrat tənliyin kökləridir. Kvadrat tənliyin həmişə iki kökü olacaq. Köklərin təbiəti ya real, ya da xəyali ola bilər.

Bu dərsdə kvadrat tənliklərin həllinin müxtəlif yollarını əhatə edəcəyik.

Faktorizasiyadan istifadə etməklə kvadrat tənliyin həlli

x ² + 2x − 15 = 0 -ı həll edin

Addım 1: Tənliyi formada ifadə edin balta ² + bx + c. Bu tənlik artıq bu formadadır.

Addım 2 : Faktorlaşdırın balta ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Addım 3: Hər bir faktoru = 0 qoyun.
(x − 3)(x + 5) = 0

Addım 4: Hər bir nəticə tənliyini həll edin.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Cavab: x = 3, −5

Düsturdan istifadə edərək kvadrat tənliyin həlli

Verilmiş kvadrat tənlik olsun balta ² + bx + c = 0, burada a ≠ 0. Bu tənliyi həll etməklə x-in qiymətini \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Beləliklə , verilmiş tənliyin kökləri \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Köklərin təbiətinin araşdırılması
Kvadrat tənlik üçün balta ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac diskriminant adlanır. Diskriminantın qiymətini tapmaqla köklərin təbiəti haqqında məlumat ala bilərik.

Misal: 4x ² + 6x + 10
burada b = 6, a = 4, c = 10 buna görə də, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Bu tənliyin kökləri qeyri-real və ya xəyalidir.

Misal: 4x ² + 4x + 1
burada b = 4, a = 4, c = 1 buna görə də, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Köklər həqiqi və bərabərdir.

Tənliyin Kvadrat Formaya Azaldılması

Bir çox tənliklər ikinci dərəcəli və ya formalı polinom kimi verilə bilməz balta ² + bx + c = 0. Lakin uyğun cəbri transformasiyadan istifadə etməklə onları kvadrat tənliyə endirmək olar.

Nümunə: \(\sqrt{x+9} + 3= x\) həll edin

3-ü sağ tərəfə köçürün, buna görə də \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Hər iki tərəfi kvadratlaşdırmaq
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

x = 0 olduğundan bu şərti ödəmir, ona görə də x= 7 yeganə kökdür.

Kvadrat tənliklərdən ibarət söz məsələlərini həll edək.
Misal: Auditoriyada hər cərgədəki oturacaqların sayı sıraların sayından 8 azdır. Auditoriyada 609 yer varsa, hər cərgədə neçə oturacaq var?
Həlli: Sətirlərin sayı x olsun. Beləliklə, hər cərgədə oturacaqların sayı x − 8-dir. Buna görə də, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
x mənfi ola bilmədiyi üçün x = 29.

Hər cərgədə oturacaqların sayı = 29 − 8 = 21