Back to the topics list

দ্বিঘাত সমীকরণ

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ কি?

দ্বিঘাত সমীকরণ হল একটি চলকের ডিগ্রী 2 এর বহুপদী সমীকরণ। একটি চলকের দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ কুঠার ² + bx + c যেখানে a, b, c, ∈ R এবং a ≠ 0। দ্বিঘাত সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে x এর মানগুলি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল। দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বদা দুটি মূল থাকবে। শিকড়ের প্রকৃতি বাস্তব বা কাল্পনিক হতে পারে।

এই পাঠে, আমরা দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের বিভিন্ন উপায় কভার করব।

ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

x ² + 2x − 15 = 0 সমাধান করুন

ধাপ 1: ফর্মে সমীকরণ প্রকাশ করুন কুঠার ² + bx + গ. এই সমীকরণ ইতিমধ্যে এই ফর্ম.

ধাপ 2 : ফ্যাক্টরাইজ করুন কুঠার ² + bx + গ.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

ধাপ 3: প্রতিটি গুণনীয়ক = 0 রাখুন।
(x − 3)(x + 5) = 0

ধাপ 4: প্রতিটি ফলাফল সমীকরণ সমাধান করুন।
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

উত্তর: x = 3, −5

সূত্র ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি হতে দিন কুঠার ² + bx + c = 0, যেখানে a ≠ 0। এই সমীকরণটি সমাধান করলে আমরা x এর মান পাব \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

এইভাবে প্রদত্ত সমীকরণের মূলগুলি হল \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

শিকড় প্রকৃতি পরীক্ষা
দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য কুঠার ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac কে বৈষম্যকারী বলা হয়। বৈষম্যকারীর মূল্য খুঁজে বের করে আমরা শিকড়ের প্রকৃতি সম্পর্কে তথ্য পেতে পারি।

উদাহরণ: 4x ² + 6x + 10
এখানে b = 6, a = 4, c = 10 অতএব, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
এই সমীকরণের মূলগুলি অবাস্তব বা কাল্পনিক।

উদাহরণ: 4x ² + 4x + 1
এখানে b = 4, a = 4, c = 1 অতএব, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
শিকড় বাস্তব এবং সমান।

সমীকরণকে দ্বিঘাত আকারে হ্রাস করা

অনেক সমীকরণ দ্বিতীয় ডিগ্রি বা ফর্মের বহুপদ হিসাবে দেওয়া যায় না কুঠার ² + bx + c = 0. কিন্তু উপযুক্ত বীজগাণিতিক রূপান্তর ব্যবহার করে তাদের দ্বিঘাত সমীকরণে হ্রাস করা যেতে পারে।

উদাহরণ: সমাধান করুন \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

3 ডানদিকে সরান, তাই \(\sqrt{x+9} = x -3\)

উভয় পক্ষের স্কোয়ারিং
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

যেহেতু x = 0, এই শর্তটি পূরণ করে না তাই x= 7 হল একমাত্র রুট।

চতুর্মুখী সমীকরণের সাথে জড়িত শব্দ সমস্যার সমাধান করা যাক।
উদাহরণ: একটি অডিটোরিয়ামে, প্রতিটি সারিতে আসন সংখ্যা সারির সংখ্যার চেয়ে 8 কম। মিলনায়তনে ৬০৯টি আসন থাকলে প্রতি সারিতে কতটি আসন?
সমাধান: সারির সংখ্যা x হবে। সুতরাং প্রতিটি সারিতে আসন সংখ্যা হল x − 8। অতএব, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
যেহেতু x ঋণাত্মক হতে পারে না তাই x = 29।

প্রতিটি সারিতে আসন সংখ্যা = 29 − 8 = 21