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quadratische gleichungen

Was ist eine quadratische Gleichung?

Quadratische Gleichungen sind die Polynomgleichungen 2. Grades in einer Variablen. Die Standardform einer quadratischen Gleichung in einer Variablen ist Axt ² + bx + c wobei a, b, c, ∈ R und a ≠ 0. Die Werte von x, die die quadratische Gleichung erfüllen, sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung. Die quadratische Gleichung hat immer zwei Wurzeln. Die Natur der Wurzeln kann entweder real oder imaginär sein.

In dieser Lektion behandeln wir verschiedene Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen.

Quadratische Gleichung mit Faktorisierung lösen

Löse x ² + 2x − 15 = 0

Schritt 1: Drücken Sie die Gleichung in der Form aus Axt ² + bx + c. Diese Gleichung liegt bereits in dieser Form vor.

Schritt 2 : Faktorisieren Axt ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Schritt 3: Setzen Sie jeden Faktor = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Schritt 4: Lösen Sie jede resultierende Gleichung.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒ x = −5

Antwort: x = 3, −5

Quadratische Gleichung mit Formel lösen

Sei die gegebene quadratische Gleichung Axt ² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0. Durch Lösen dieser Gleichung erhalten wir den Wert von x als \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Somit sind die Wurzeln der gegebenen Gleichung \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Untersuchung der Natur der Wurzeln
Für quadratische Gleichung Axt ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac heißt Diskriminante. Wir können Informationen über die Natur der Wurzeln erhalten, indem wir den Wert der Diskriminante finden.

Beispiel: 4x ² + 6x + 10
hier b = 6, a = 4, c = 10 also \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Die Wurzeln für diese Gleichung sind unwirklich oder imaginär.

Beispiel: 4x ² + 4x + 1
hier b = 4, a = 4, c = 1 also 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Die Wurzeln sind real und gleich.

Reduzieren der Gleichung auf die quadratische Form

Viele Gleichungen können nicht als Polynom zweiten Grades oder der Form angegeben werden Axt ² + bx + c = 0. Sie können aber durch geeignete algebraische Transformation auf die quadratische Gleichung zurückgeführt werden.

Beispiel: Löse \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Verschiebe 3 nach rechts, also \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Beide Seiten quadrieren
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Da x = 0, erfüllt diese Bedingung nicht, daher ist x = 7 die einzige Wurzel.

Lassen Sie uns Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen lösen.
Beispiel: In einem Auditorium ist die Anzahl der Sitzplätze in jeder Reihe um 8 kleiner als die Anzahl der Reihen. Wie viele Sitzplätze hat jede Reihe, wenn der Zuschauerraum 609 Sitzplätze hat?
Lösung: Die Anzahl der Zeilen sei x. Die Anzahl der Sitze in jeder Reihe ist also x − 8. Daher ist x⋅(x − 8) = 609
x ² − 8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
da x nicht negativ sein kann, ist x = 29.

Anzahl der Sitze in jeder Reihe = 29 − 8 = 21