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ecuaciones cuadráticas

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Las ecuaciones cuadráticas son las ecuaciones polinómicas de grado 2 en una variable. La forma estándar de una ecuación cuadrática en una variable es hacha ² + bx + c donde a, b, c, ∈ R ya ≠ 0. Los valores de x que satisfacen la ecuación cuadrática son las raíces de la ecuación cuadrática. La ecuación cuadrática siempre tendrá dos raíces. La naturaleza de las raíces puede ser real o imaginaria.

En esta lección, cubriremos diferentes formas de resolver ecuaciones cuadráticas.

Resolviendo ecuaciones cuadráticas usando factorización

Resolver x ² + 2x − 15 = 0

Paso 1: Expresar la ecuación en la forma hacha ² + bx + c. Esta ecuación ya está en esta forma.

Paso 2 : factorizar hacha ² + bx + c.
x2 + ^2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x+5) − 3(x+5)

Paso 3: Pon cada factor = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Paso 4: Resuelve cada ecuación resultante.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Respuesta: x = 3, −5

Resolviendo ecuaciones cuadráticas usando la fórmula

Sea la ecuación cuadrática dada hacha ² + bx + c = 0, donde a ≠ 0. Resolviendo esta ecuación obtenemos el valor de x como \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Por lo tanto, las raíces de la ecuación dada son \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Examinando la naturaleza de las raíces.
Para ecuación cuadrática hacha ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac se llama el discriminante. Podemos obtener información sobre la naturaleza de las raíces encontrando el valor del discriminante.

Ejemplo: 4x ² + 6x + 10
aquí b = 6, a = 4, c = 10 por lo tanto, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Las raíces de esta ecuación son irreales o imaginarias.

Ejemplo: 4x ² + 4x + 1
aquí b = 4, a = 4, c = 1 por lo tanto, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Las raíces son reales e iguales.

Reducir ecuación a forma cuadrática

Muchas ecuaciones pueden no darse como polinomios de segundo grado o de forma hacha ² + bx + c = 0. Pero se pueden reducir a la ecuación cuadrática usando la transformación algebraica adecuada.

Ejemplo: Resolver \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Mueva 3 al lado derecho, por lo tanto \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Cuadrando ambos lados
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Dado que x = 0 no cumple esta condición, x = 7 es la única raíz.

Resolvamos problemas verbales que involucren ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo: En un auditorio, el número de asientos en cada fila es 8 menos que el número de filas. ¿Cuántos asientos hay en cada fila si hay 609 asientos en el auditorio?
Solución: Sea x el número de filas. Entonces, el número de asientos en cada fila es x − 8. Por lo tanto, x⋅(x − 8) = 609
x2 ^−8x − 609 = ⁰ ⇒ x2 − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
como x no puede ser negativo entonces x = 29.

Número de asientos en cada fila = 29 − 8 = 21