Back to the topics list

معادلات درجه دوم

معادله درجه دوم چیست؟

معادلات درجه دوم معادلات چند جمله ای درجه 2 در یک متغیر هستند. شکل استاندارد یک معادله درجه دوم در یک متغیر است تبر ² + bx + c که در آن a، b، c، ∈ R و a ≠ 0. مقادیر x که معادله درجه دوم را برآورده می کند، ریشه های معادله درجه دوم هستند. معادله درجه دوم همیشه دو ریشه خواهد داشت. ماهیت ریشه ها ممکن است واقعی یا خیالی باشد.

در این درس به روش های مختلف حل معادلات درجه دوم می پردازیم.

حل معادله درجه دوم با استفاده از فاکتورسازی

x ² + 2x − 15 = 0 را حل کنید

مرحله 1: معادله را به شکل بیان کنید تبر ² + bx + c. این معادله قبلاً به این شکل است.

مرحله 2 : فاکتوریزه کردن تبر ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) - 3 (x + 5)

مرحله 3: هر عامل را 0 قرار دهید.
(x − 3) (x + 5) = 0

مرحله 4: هر معادله به دست آمده را حل کنید.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = -5

پاسخ: x = 3، −5

حل معادله درجه دوم با استفاده از فرمول

معادله درجه دوم داده شده باشد تبر ² + bx + c = 0، که در آن a ≠ 0. با حل این معادله، مقدار x را به صورت \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) بدست می آوریم.

بنابراین ریشه های معادله داده شده عبارتند از \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

بررسی ماهیت ریشه ها
برای معادله درجه دوم تبر ² + bx + c = 0، a ≠ 0، b ² − 4ac ممیز نامیده می شود. ما می توانیم با یافتن ارزش تمایز اطلاعاتی در مورد ماهیت ریشه ها بدست آوریم.

مثال: 4x ² + 6x + 10
در اینجا b = 6، a = 4، c = 10 بنابراین، \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
ریشه های این معادله غیر واقعی یا خیالی هستند.

مثال: 4x ² + 4x + 1
در اینجا b = 4، a = 4، c = 1 بنابراین، 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
ریشه ها واقعی و مساوی هستند.

کاهش معادله به شکل درجه دوم

بسیاری از معادلات ممکن است به صورت چند جمله ای درجه دوم یا شکل داده نشوند تبر ² + bx + c = 0. اما می توان آنها را با استفاده از تبدیل جبری مناسب به معادله درجه دوم کاهش داد.

مثال: حل \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

3 را به سمت راست حرکت دهید، بنابراین \(\sqrt{x+9} = x -3\)

مربع کردن دو طرف
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

از آنجایی که x = 0، این شرط را برآورده نمی کند، بنابراین x=7 تنها ریشه است.

اجازه دهید مسائل کلمه ای را با معادلات درجه دوم حل کنیم.
مثال: در یک سالن، تعداد صندلی های هر ردیف 8 عدد کمتر از تعداد ردیف ها است. در صورت وجود 609 صندلی در سالن چند صندلی در هر ردیف وجود دارد؟
راه حل: تعداد سطرها را x بگذارید. بنابراین تعداد صندلی‌های هر ردیف x − 8 است. بنابراین، x⋅(x−8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
چون x نمی تواند منفی باشد بنابراین x = 29.

تعداد صندلی در هر ردیف = 29 − 8 = 21