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équations du second degré

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

Les équations quadratiques sont les équations polynomiales de degré 2 à une variable. La forme standard d'une équation quadratique à une variable est hache ² + bx + c où a, b, c, ∈ R et a ≠ 0. Les valeurs de x satisfaisant l'équation quadratique sont les racines de l'équation quadratique. L'équation quadratique aura toujours deux racines. La nature des racines peut être réelle ou imaginaire.

Dans cette leçon, nous aborderons différentes manières de résoudre des équations quadratiques.

Résolution d'une équation quadratique à l'aide de la factorisation

Résoudre x ² + 2x − 15 = 0

Étape 1 : Exprimez l'équation sous la forme hache ² + bx + c. Cette équation est déjà sous cette forme.

Etape 2 : Factoriser hache ² + bx + c.
^x2 + 2x − 15
^x2 + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Étape 3 : Mettez chaque facteur = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Étape 4 : Résolvez chaque équation résultante.
x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Réponse : x = 3, −5

Résolution d'une équation quadratique à l'aide d'une formule

Soit l'équation quadratique donnée hache ² + bx + c = 0, où a ≠ 0. En résolvant cette équation, nous obtenons la valeur de x comme \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Ainsi, les racines de l'équation donnée sont \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Examiner la nature des racines
Pour l'équation quadratique hache ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac est appelé le discriminant. Nous pouvons obtenir des informations sur la nature des racines en trouvant la valeur du discriminant.

Exemple : 4x ² + 6x + 10
ici b = 6, a = 4, c = 10 donc, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Les racines de cette équation sont irréelles ou imaginaires.

Exemple : 4x ² + 4x + 1
ici b = 4, a = 4, c = 1 donc, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Les racines sont réelles et égales.

Réduire l'équation à la forme quadratique

De nombreuses équations peuvent ne pas être données comme polynôme du second degré ou de forme hache ² + bx + c = 0. Mais ils peuvent être réduits à l'équation quadratique en utilisant une transformation algébrique appropriée.

Exemple : résoudre \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Déplacez 3 vers la droite, donc \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Quadrature des deux côtés
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Puisque x = 0, ne satisfait pas cette condition donc x= 7 est la seule racine.

Résolvons des problèmes de mots impliquant des équations quadratiques.
Exemple : Dans un auditorium, le nombre de sièges dans chaque rangée est inférieur de 8 au nombre de rangées. Combien y a-t-il de sièges dans chaque rangée s'il y a 609 sièges dans l'auditorium ?
Solution : Soit le nombre de lignes égal à x. Ainsi, le nombre de sièges dans chaque rangée est x − 8. Par conséquent, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
comme x ne peut pas être négatif donc x = 29.

Nombre de sièges dans chaque rangée = 29 − 8 = 21