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द्विघातीय समीकरण

एक द्विघात समीकरण क्या है?

द्विघात समीकरण एक चर में घात 2 वाले बहुपद समीकरण होते हैं। एक चर में द्विघात समीकरण का मानक रूप है कुल्हाड़ी ² + bx + c जहाँ a, b, c, ∈ R और a ≠ 0. द्विघात समीकरण को संतुष्ट करने वाले x के मान द्विघात समीकरण के मूल होते हैं। द्विघात समीकरण के हमेशा दो मूल होंगे। जड़ों की प्रकृति वास्तविक या काल्पनिक हो सकती है।

इस पाठ में, हम द्विघात समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों को शामिल करेंगे।

गुणनखण्ड का प्रयोग करके द्विघात समीकरण को हल करना

x ² + 2x − 15 = 0 को हल कीजिए

चरण 1: समीकरण को रूप में व्यक्त करें कुल्हाड़ी ² + बीएक्स + सी। यह समीकरण पहले से ही इस रूप में है।

चरण 2 : फैक्टराइज़ करें कुल्हाड़ी ² + बीएक्स + सी।
x ² + 2x - 15
x ² + 5x - 3x -15 ⇒ एक्स (एक्स + 5) - 3 (एक्स + 5)

चरण 3: प्रत्येक कारक = 0 रखो।
(एक्स - 3) (एक्स + 5) = 0

चरण 4: प्रत्येक परिणामी समीकरण को हल करें।
x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = -5

उत्तर: x = 3, -5

सूत्र का प्रयोग करके द्विघात समीकरण को हल करना

माना दिया गया द्विघात समीकरण है कुल्हाड़ी ² + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0 है। इस समीकरण को हल करने पर हमें x का मान \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) के रूप में मिलता है।

इस प्रकार दिए गए समीकरण के मूल हैं \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

जड़ों की प्रकृति की जांच करना
द्विघात समीकरण के लिए कुल्हाड़ी ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac को विविक्तकर कहते हैं। विविक्तकर का मान ज्ञात करके हम मूलों की प्रकृति के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण: 4x ² + 6x + 10
यहाँ b = 6, a = 4, c = 10 इसलिए, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
इस समीकरण के मूल असत्य या काल्पनिक हैं।

उदाहरण: 4x ² + 4x + 1
यहाँ b = 4, a = 4, c = 1 इसलिए, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
मूल वास्तविक और समान होते हैं।

समीकरण को द्विघात रूप में कम करना

कई समीकरणों को दूसरी डिग्री या रूप के बहुपद के रूप में नहीं दिया जा सकता है कुल्हाड़ी ² + bx + c = 0. लेकिन उन्हें उपयुक्त बीजगणितीय रूपांतरण का उपयोग करके द्विघात समीकरण में घटाया जा सकता है।

उदाहरण: हल करें \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

3 को दाईं ओर ले जाएँ, इसलिए \(\sqrt{x+9} = x -3\)

दोनों पक्षों को चौकोर करना
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

चूंकि x = 0, इस शर्त को संतुष्ट नहीं करता है इसलिए x = 7 ही एकमात्र मूल है।

आइए द्विघात समीकरणों से संबंधित शाब्दिक समस्याओं को हल करें।
उदाहरण: एक सभागार में, प्रत्येक पंक्ति में सीटों की संख्या पंक्तियों की संख्या से 8 कम है। यदि सभागार में 609 सीटें हैं, तो प्रत्येक पंक्ति में कितनी सीटें हैं?
हल: माना पंक्तियों की संख्या x है। इसलिए प्रत्येक पंक्ति में सीटों की संख्या x − 8 है। इसलिए, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
क्योंकि x ऋणात्मक नहीं हो सकता इसलिए x = 29।

प्रत्येक पंक्ति में सीटों की संख्या = 29 − 8 = 21