Back to the topics list

kvadratne jednadžbe

Što je kvadratna jednadžba?

Kvadratne jednadžbe su jednadžbe polinoma 2. stupnja u jednoj varijabli. Standardni oblik kvadratne jednadžbe u jednoj varijabli je sjekira ² + bx + c gdje su a, b, c, ∈ R i a ≠ 0. Vrijednosti x koje zadovoljavaju kvadratnu jednadžbu su korijeni kvadratne jednadžbe. Kvadratna jednadžba će uvijek imati dva korijena. Priroda korijena može biti stvarna ili imaginarna.

U ovoj lekciji pokrit ćemo različite načine rješavanja kvadratnih jednadžbi.

Rješavanje kvadratne jednadžbe korištenjem faktorizacije

Riješite x ² + 2x − 15 = 0

Korak 1: Izrazite jednadžbu u obliku sjekira ² + bx + c. Ova jednadžba je već u ovom obliku.

Korak 2 : Faktoriziraj sjekira ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Korak 3: Stavite svaki faktor = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Korak 4: Riješite svaku rezultirajuću jednadžbu.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Odgovor: x = 3, −5

Rješavanje kvadratne jednadžbe pomoću formule

Neka je dana kvadratna jednadžba sjekira ² + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0. Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo vrijednost x kao \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Stoga su korijeni dane jednadžbe \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Ispitivanje prirode korijena
Za kvadratnu jednadžbu sjekira ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac naziva se diskriminanta. Informacije o prirodi korijena možemo dobiti pronalaženjem vrijednosti diskriminante.

Primjer: 4x ² + 6x + 10
ovdje je b = 6, a = 4, c = 10 dakle, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Korijeni ove jednadžbe su nestvarni ili imaginarni.

Primjer: 4x ² + 4x + 1
ovdje je b = 4, a = 4, c = 1 dakle, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Korijeni su pravi i jednaki.

Svođenje jednadžbe na kvadratni oblik

Mnoge jednadžbe ne mogu se dati kao polinom drugog stupnja ili oblika sjekira ² + bx + c = 0. Ali oni se mogu svesti na kvadratnu jednadžbu korištenjem odgovarajuće algebarske transformacije.

Primjer: Riješite \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Pomaknite 3 na desnu stranu, dakle \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Kvadratura obje strane
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Budući da je x = 0, ne zadovoljava ovaj uvjet, stoga je x= 7 jedini korijen.

Riješimo tekstualne zadatke koji uključuju kvadratne jednadžbe.
Primjer: U gledalištu je broj sjedala u svakom redu 8 manji od broja redova. Koliko je sjedala u svakom redu ako u dvorani ima 609 sjedala?
Rješenje: Neka je broj redaka x. Dakle, broj sjedala u svakom redu je x − 8. Prema tome, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
jer x ne može biti negativan pa je x = 29.

Broj sjedala u svakom redu = 29 − 8 = 21