Back to the topics list

persamaan kuadrat

Apa itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat 2 dalam satu variabel. Bentuk standar persamaan kuadrat dalam satu variabel adalah kapak ² + bx + c dengan a, b, c, ∈ R dan a ≠ 0. Nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat adalah akar persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat akan selalu memiliki dua akar. Sifat akar dapat berupa nyata atau imajiner.

Dalam pelajaran ini, kita akan membahas berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Menggunakan Faktorisasi

Selesaikan x ² + 2x − 15 = 0

Langkah 1: Ekspresikan persamaan dalam bentuk kapak ² + bx + c. Persamaan ini sudah dalam bentuk ini.

Langkah 2 : Faktorkan kapak ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Langkah 3: Masukkan setiap faktor = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Langkah 4: Selesaikan setiap persamaan yang dihasilkan.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Jawab: x = 3, −5

Memecahkan Persamaan Kuadrat Menggunakan Rumus

Biarkan persamaan kuadrat yang diberikan menjadi kapak ² + bx + c = 0, di mana a ≠ 0. Memecahkan persamaan ini kita mendapatkan nilai x sebagai \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Jadi akar dari persamaan yang diberikan adalah \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Menyelidiki sifat akar
Untuk persamaan kuadrat kapak ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac disebut diskriminan. Kita bisa mendapatkan informasi tentang sifat akar dengan mencari nilai diskriminan.

Contoh: 4x ² + 6x + 10
di sini b = 6, a = 4, c = 10 oleh karena itu, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Akar persamaan ini tidak nyata atau imajiner.

Contoh: 4x ² + 4x + 1
di sini b = 4, a = 4, c = 1 oleh karena itu, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Akarnya nyata dan sama.

Reduksi Persamaan menjadi Bentuk Kuadrat

Banyak persamaan mungkin tidak diberikan sebagai polinomial derajat kedua atau bentuk kapak ² + bx + c = 0. Tetapi mereka dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat menggunakan transformasi aljabar yang sesuai.

Contoh: Selesaikan \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Pindahkan 3 ke ruas kanan, sehingga \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Mengkuadratkan kedua sisi
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Karena x = 0, tidak memenuhi kondisi ini maka x= 7 adalah satu-satunya akar.

Mari kita selesaikan soal cerita yang melibatkan persamaan kuadrat.
Contoh: Dalam sebuah auditorium, jumlah kursi pada setiap barisnya adalah 8 lebih sedikit dari jumlah barisnya. Berapa banyak kursi di setiap baris jika terdapat 609 kursi di auditorium?
Solusi: Misalkan banyaknya baris adalah x. Jadi banyaknya kursi pada setiap baris adalah x − 8. Jadi, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
karena x tidak mungkin negatif maka x = 29.

Jumlah kursi tiap baris = 29 − 8 = 21