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equazioni quadratiche

Cos'è un'equazione quadratica?

Le equazioni quadratiche sono le equazioni polinomiali di grado 2 in una variabile. La forma standard di un'equazione quadratica in una variabile è ascia ² + bx + c dove a, b, c, ∈ R e a ≠ 0. I valori di x che soddisfano l'equazione quadratica sono le radici dell'equazione quadratica. L'equazione quadratica avrà sempre due radici. La natura delle radici può essere reale o immaginaria.

In questa lezione tratteremo diversi modi per risolvere equazioni quadratiche.

Risolvere un'equazione quadratica usando la fattorizzazione

Risolvi x ² + 2x − 15 = 0

Passaggio 1: esprimi l'equazione nella forma ascia ² + bx + c. Questa equazione è già in questa forma.

Passaggio 2 : fattorizza ascia ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Passaggio 3: metti ciascun fattore = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Passaggio 4: risolvi ciascuna equazione risultante.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒ x = −5

Risposta: x = 3, −5

Risolvere l'equazione quadratica usando la formula

Sia l'equazione quadratica data ascia ² + bx + c = 0, dove a ≠ 0. Risolvendo questa equazione otteniamo il valore di x come \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Quindi le radici dell'equazione data sono \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Esaminando la natura delle radici
Per equazione quadratica ascia ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac è detto discriminante. Possiamo ottenere informazioni sulla natura delle radici trovando il valore del discriminante.

Esempio: 4x ² + 6x + 10
qui b = 6, a = 4, c = 10 quindi, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Le radici di questa equazione sono irreali o immaginarie.

Esempio: 4x ² + 4x + 1
qui b = 4, a = 4, c = 1 quindi, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Le radici sono reali e uguali.

Riduzione dell'equazione in forma quadratica

Molte equazioni possono non essere date come polinomi di secondo grado o di forma ascia ² + bx + c = 0. Ma possono essere ridotti all'equazione quadratica usando un'opportuna trasformazione algebrica.

Esempio: Risolvi \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Sposta 3 a destra, quindi \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Squadratura su entrambi i lati
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Poiché x = 0, non soddisfa questa condizione, allora x= 7 è l'unica radice.

Cerchiamo di risolvere problemi di parole che coinvolgono equazioni quadratiche.
Esempio: In un auditorium, il numero di posti in ciascuna fila è inferiore di 8 rispetto al numero di file. Quanti posti ci sono in ogni fila se ci sono 609 posti nell'auditorium?
Soluzione: Sia x il numero di righe. Quindi il numero di posti in ogni fila è x − 8. Pertanto, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
poiché x non può essere negativo, allora x = 29.

Numero di posti in ogni fila = 29 − 8 = 21