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二次方程式

二次方程式とは

二次方程式は、1 つの変数で 2 次の多項式です。 1 変数の 2 次方程式の標準形式は次のとおりです。斧² + bx + c ここで、a, b, c, ∈ R であり、a ≠ 0 です。二次方程式を満たす x の値は、二次方程式の根です。二次方程式には常に 2 つの根があります。根の性質は、実数または虚数のいずれかです。

このレッスンでは、二次方程式を解くさまざまな方法について説明します。

因数分解を使用して二次方程式を解く

x ² + 2x − 15 = 0を解く

ステップ 1:方程式を次の形式で表します。斧² + bx + c。この方程式はすでにこの形になっています。

ステップ 2 : 因数分解する斧² + bx + c。
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

ステップ 3:各因子 = 0 とします。
(x − 3)(x + 5) = 0

ステップ 4:得られた各方程式を解きます。
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

答え: x = 3, −5

数式を使用して二次方程式を解く

与えられた二次方程式を斧² + bx + c = 0、ここで a ≠ 0。この方程式を解くと、x の値\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)として得られます。

したがって、与えられた方程式の根\(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) 、 \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)です。 \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

根の性質を調べる
二次方程式の場合斧² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac を判別式と呼びます。判別式の値を見つけることで、根の性質に関する情報を得ることができます。

例: 4x ² + 6x + 10
ここで b = 6、a = 4、c = 10 したがって、 \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
この方程式の根は非実数または虚数です。

例: 4x ² + 4x + 1
ここで b = 4、a = 4、c = 1 したがって、4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
根は実在し、等しい。

方程式を二次形式に簡約する

多くの方程式は、2 次または形式の多項式として与えられない場合があります。斧² + bx + c = 0. しかし、適切な代数変換を使用して二次方程式に還元できます。

例: \(\sqrt{x+9} + 3= x\)を解く

3 を右辺に移動、したがって\(\sqrt{x+9} = x -3\)

両側を二乗する
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

x = 0 なので、この条件を満たさないため、x = 7 が唯一のルートです。

二次方程式を含む文章問題を解いてみましょう。
例:講堂では、各列の座席数は列数より 8 少なくなります。講堂に 609 席ある場合、各列には何席ありますか?
解決策:行数を x とします。したがって、各列の座席数は x − 8 です。したがって、x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x·(x−29) + 21·(x−29) = 0 ⇒ (x−29)·(x+21) = 0
x を負にすることはできないため、x = 29 です。

各列の座席数 = 29 − 8 = 21