Back to the topics list

квадратни равенки

Што е квадратна равенка?

Квадратни равенки се полиномните равенки од степен 2 во една променлива. Стандардната форма на квадратна равенка во една променлива е секира ² + bx + c каде a, b, c, ∈ R и a ≠ 0. Вредностите на x што ја задоволуваат квадратната равенка се корените на квадратната равенка. Квадратната равенка секогаш ќе има два корени. Природата на корените може да биде реална или имагинарна.

Во оваа лекција, ќе опфатиме различни начини за решавање на квадратни равенки.

Решавање на квадратна равенка со помош на факторизација

Решете x ² + 2x − 15 = 0

Чекор 1: Изразете ја равенката во форма секира ² + bx + c. Оваа равенка е веќе во оваа форма.

Чекор 2 : Факторизирај секира ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) - 3(x + 5)

Чекор 3: Ставете го секој фактор = 0.
(x − 3) (x + 5) = 0

Чекор 4: Решете ја секоја добиена равенка.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Одговор: x = 3, −5

Решавање на квадратна равенка со помош на формула

Нека биде дадената квадратна равенка секира ² + bx + c = 0, каде a ≠ 0. Решавајќи ја оваа равенка ја добиваме вредноста на x како \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Така, корените на дадената равенка се \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Испитување на природата на корените
За квадратна равенка секира ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac се нарекува дискриминант. Можеме да добиеме информации за природата на корените со наоѓање на вредноста на дискриминаторот.

Пример: 4x ² + 6x + 10
овде b = 6, a = 4, c = 10 затоа, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Корените за оваа равенка се нереални или имагинарни.

Пример: 4x ² + 4x + 1
тука b = 4, a = 4, c = 1 затоа, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Корените се реални и еднакви.

Намалување на равенката во квадратна форма

Многу равенки може да не се дадат како полиноми од втор степен или од форма секира ² + bx + c = 0. Но, тие можат да се сведат на квадратната равенка користејќи соодветна алгебарска трансформација.

Пример: Реши \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Поместете 3 на десната страна, затоа \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Квадрат на двете страни
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Бидејќи x = 0, не го задоволува овој услов, затоа x= 7 е единствениот корен.

Дозволете ни да ги решиме текстуалните задачи кои вклучуваат квадратни равенки.
Пример: Во аудиториум, бројот на седишта во секој ред е 8 помал од бројот на редови. Колку седишта има во секој ред ако има 609 седишта во гледалиштето?
Решение: Нека бројот на редови е x. Значи, бројот на седишта во секој ред е x − 8. Затоа, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
бидејќи x не може да биде негативен затоа x = 29.

Број на седишта во секој ред = 29 − 8 = 21