Back to the topics list

квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ?

Квадрат тэгшитгэл нь нэг хувьсагчийн 2-р зэргийн олон гишүүнт тэгшитгэл юм. Нэг хувьсагчтай квадрат тэгшитгэлийн стандарт хэлбэр нь сүх ² + bx + c энд a, b, c, ∈ R ба a ≠ 0. Квадрат тэгшитгэлийг хангах х-ийн утгууд нь квадрат тэгшитгэлийн язгуур юм. Квадрат тэгшитгэл нь үргэлж хоёр үндэстэй байх болно. Үндэсний мөн чанар нь бодит эсвэл зохиомол байж болно.

Энэ хичээлээр бид квадрат тэгшитгэлийг шийдэх янз бүрийн аргуудыг авч үзэх болно.

Квадрат тэгшитгэлийг үржвэрлэх аргыг ашиглан шийдвэрлэх

x ² + 2x − 15 = 0- ийг шийд

Алхам 1: Тэгшитгэлийг хэлбэрээр илэрхийл сүх ² + bx + c. Энэ тэгшитгэл нь аль хэдийн ийм хэлбэртэй байна.

Алхам 2 : Хүчин зүйлд хуваах сүх ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Алхам 3: Хүчин зүйл бүрийг = 0 болго.
(x − 3)(x + 5) = 0

Алхам 4: Үүссэн тэгшитгэл бүрийг шийд.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Хариулт: x = 3, −5

Квадрат тэгшитгэлийг томьёо ашиглан шийдвэрлэх

Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг байг сүх ² + bx + c = 0, энд a ≠ 0. Энэ тэгшитгэлийг шийдэж бид x-ийн утгыг \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) авна.

Тиймээс өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс нь \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) байна. \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Үндэсний мөн чанарыг судлах
Квадрат тэгшитгэлийн хувьд сүх ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac-ийг дискриминант гэнэ. Ялгаварлагчийн утгыг олох замаар бид язгуурын шинж чанарын талаар мэдээлэл авах боломжтой.

Жишээ нь: 4x ² + 6x + 10
энд b = 6, a = 4, c = 10, тиймээс \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь бодит бус эсвэл төсөөлөл юм.

Жишээ нь: 4x ² + 4x + 1
энд b = 4, a = 4, c = 1 тиймээс 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Үндэс нь жинхэнэ бөгөөд тэнцүү юм.

Тэгшитгэлийг квадрат хэлбэрт оруулах

Олон тэгшитгэлийг 2-р зэргийн олон гишүүнт эсвэл хэлбэрийн олон гишүүнт гэж өгөхгүй байж болно сүх ² + bx + c = 0. Гэхдээ тэдгээрийг тохирох алгебрийн хувиргалтыг ашиглан квадрат тэгшитгэл болгон бууруулж болно.

Жишээ: \(\sqrt{x+9} + 3= x\) г шийднэ үү.

3-ыг баруун гар тал руу зөөнө, тиймээс \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Хоёр талыг дөрвөлжин болгох
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

x = 0 тул энэ нөхцлийг хангахгүй тул x= 7 нь цорын ганц үндэс болно.

Квадрат тэгшитгэлтэй үгийн бодлого бодъё.
Жишээ: Танхимд эгнээ тус бүрийн суудлын тоо эгнээний тооноос 8-аар бага байна. Хурлын танхимд 609 суудалтай бол эгнээ тус бүр хэдэн суудалтай вэ?
Шийдэл: Мөрийн тоог x гэж үзье. Тиймээс эгнээ тус бүрийн суудлын тоо x − 8. Иймд x⋅(x − 8) = 609 байна.
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
x сөрөг байж болохгүй тул x = 29.

Эгнээ тус бүрийн суудлын тоо = 29 − 8 = 21