Back to the topics list

चतुर्भुज समीकरण

एक द्विघात समीकरण के हो?

द्विघात समीकरणहरू एक चरमा डिग्री 2 को बहुपदीय समीकरणहरू हुन्। एक चर मा एक द्विघात समीकरण को मानक रूप हो कुल्हाडी ^२ + bx + c जहाँ a, b, c, ∈ R र a ≠ 0। द्विघात समीकरणलाई सन्तुष्ट पार्ने x को मानहरू द्विघात समीकरणका मूलहरू हुन्। द्विघात समीकरणमा सधैं दुईवटा जरा हुनेछन्। जराको प्रकृति वास्तविक वा काल्पनिक हुन सक्छ।

यस पाठमा, हामी द्विघात समीकरणहरू समाधान गर्ने विभिन्न तरिकाहरू समावेश गर्नेछौं।

फ्याक्टराइजेशन प्रयोग गरी द्विघात समीकरण समाधान गर्दै

x ² + 2x − 15 = 0 हल गर्नुहोस्

चरण 1: फारममा समीकरण व्यक्त गर्नुहोस् कुल्हाडी ^२ + bx + c। यो समीकरण यस फारममा पहिले नै छ।

चरण 2 : फैक्टराइज कुल्हाडी ^२ + bx + c।
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

चरण 3: प्रत्येक कारक = ० राख्नुहोस्।
(x − 3)(x + 5) = 0

चरण 4: प्रत्येक परिणामित समीकरण समाधान गर्नुहोस्।
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

उत्तर: x = 3, −5

सूत्र प्रयोग गरी द्विघात समीकरण समाधान गर्दै

दिइएको द्विघात समीकरण हुन दिनुहोस् कुल्हाडी ^२ + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0। यो समीकरण समाधान गर्दा हामीले x को मान \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) पाउँछौं।

यसरी दिइएको समीकरणको मूलहरू \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) हुन्। \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

जराहरूको प्रकृति जाँच गर्दै
द्विघात समीकरणका लागि कुल्हाडी ^२ + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac लाई भेदभाव भनिन्छ। भेदभावको मूल्य पत्ता लगाएर हामीले जराको प्रकृति बारे जानकारी प्राप्त गर्न सक्छौं।

उदाहरण: 4x ² + 6x + 10
यहाँ b = 6, a = 4, c = 10 त्यसैले, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
यस समीकरणको जरा अवास्तविक वा काल्पनिक हो।

उदाहरण: 4x ² + 4x + 1
यहाँ b = 4, a = 4, c = 1 त्यसैले, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
जराहरू वास्तविक र समान छन्।

समीकरणलाई क्वाड्राटिक फारममा घटाउँदै

धेरै समीकरणहरू दोस्रो डिग्री वा फारमको बहुपदको रूपमा दिन सकिँदैन कुल्हाडी ^२ + bx + c = 0। तर उपयुक्त बीजगणितीय रूपान्तरण प्रयोग गरेर तिनीहरूलाई द्विघातीय समीकरणमा घटाउन सकिन्छ।

उदाहरण: समाधान \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

3 लाई दायाँ तिर सार्नुहोस्, त्यसैले \(\sqrt{x+9} = x -3\)

दुबै तिर स्क्वायर गर्दै
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

x = 0 देखि, यो अवस्था पूरा गर्दैन त्यसैले x= 7 मात्र मूल हो।

द्विघात समीकरणहरू समावेश गर्ने शब्द समस्याहरू समाधान गरौं।
उदाहरण: एक सभागारमा, प्रत्येक पङ्क्तिमा सिटहरूको संख्या पङ्क्तिहरूको संख्या भन्दा 8 कम छ। सभागारमा ६०९ सिट भएमा प्रत्येक पङ्क्तिमा कति सिट हुन्छ ?
समाधान: पङ्क्तिहरूको संख्या x मान्नुहोस्। त्यसैले प्रत्येक पङ्क्तिमा सिटहरूको संख्या x − 8 हो। त्यसैले, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
x ऋणात्मक हुन सक्दैन त्यसैले x = 29।

प्रत्येक पङ्क्तिमा सिट संख्या = 29 − 8 = 21