Back to the topics list

kwadratische vergelijkingen

Wat is een kwadratische vergelijking?

Kwadratische vergelijkingen zijn de polynoomvergelijkingen van graad 2 in één variabele. De standaardvorm van een kwadratische vergelijking in één variabele is bijl ² + bx + c waarbij a, b, c, ∈ R en a ≠ 0. De waarden van x die voldoen aan de kwadratische vergelijking zijn de wortels van de kwadratische vergelijking. De kwadratische vergelijking heeft altijd twee wortels. De aard van wortels kan echt of denkbeeldig zijn.

In deze les behandelen we verschillende manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen.

Kwadratische vergelijkingen oplossen met behulp van factorisatie

Los x ² + 2x − 15 = 0 op

Stap 1: druk de vergelijking uit in het formulier bijl ² + bx + c. Deze vergelijking is al in deze vorm.

Stap 2 : Ontbinden in factoren bijl ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Stap 3: Zet elke factor = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Stap 4: los elke resulterende vergelijking op.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Antwoord: x = 3, −5

Kwadratische vergelijking oplossen met formule

Laat de gegeven kwadratische vergelijking zijn bijl ² + bx + c = 0, waarbij a ≠ 0. Als we deze vergelijking oplossen krijgen we de waarde van x als \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Dus de wortels van de gegeven vergelijking zijn \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Onderzoek naar de aard van de wortels
Voor kwadratische vergelijking bijl ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac wordt de discriminant genoemd. We kunnen informatie krijgen over de aard van de wortels door de waarde van de discriminant te vinden.

Voorbeeld: 4x ² + 6x + 10
hier b = 6, a = 4, c = 10 dus, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
De wortels van deze vergelijking zijn onwerkelijk of denkbeeldig.

Voorbeeld: 4x ² + 4x + 1
hier b = 4, a = 4, c = 1 dus, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
De wortels zijn echt en gelijk.

Vergelijking reduceren tot kwadratische vorm

Veel vergelijkingen kunnen niet worden gegeven als polynoom van de tweede graad of vorm bijl ² + bx + c = 0. Maar ze kunnen worden gereduceerd tot de kwadratische vergelijking met behulp van geschikte algebraïsche transformatie.

Voorbeeld: Los \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Schuif 3 naar rechts, dus \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Beide zijden kwadrateren
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Aangezien x = 0, voldoet niet aan deze voorwaarde, daarom is x= 7 de enige wortel.

Laten we woordproblemen met kwadratische vergelijkingen oplossen.
Voorbeeld: In een auditorium is het aantal stoelen in elke rij 8 minder dan het aantal rijen. Hoeveel stoelen zijn er in elke rij als er 609 stoelen in de zaal zijn?
Oplossing: Laat het aantal rijen x zijn. Dus het aantal stoelen in elke rij is x − 8. Daarom is x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
aangezien x niet negatief kan zijn, daarom x = 29.

Aantal stoelen in elke rij = 29 - 8 = 21