Back to the topics list

równania kwadratowe

Co to jest równanie kwadratowe?

Równania kwadratowe to równania wielomianowe stopnia 2 w jednej zmiennej. Standardowa postać równania kwadratowego z jedną zmienną to topór ² + bx + c gdzie a, b, c, ∈ R i a ≠ 0. Wartości x spełniające równanie kwadratowe są pierwiastkami równania kwadratowego. Równanie kwadratowe zawsze będzie miało dwa pierwiastki. Natura korzeni może być rzeczywista lub urojona.

W tej lekcji omówimy różne sposoby rozwiązywania równań kwadratowych.

Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą faktoryzacji

Rozwiąż x ² + 2x − 15 = 0

Krok 1: Wyraź równanie w formie topór ² + bx + do. To równanie jest już w tej postaci.

Krok 2 : Faktoryzacja topór ² + bx + do.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Krok 3: Umieść każdy czynnik = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Krok 4: Rozwiąż każde wynikowe równanie.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒ x = −5

Odpowiedź: x = 3, −5

Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą formuły

Niech dane równanie kwadratowe będzie topór ² + bx + c = 0, gdzie a ≠ 0. Rozwiązując to równanie otrzymujemy wartość x jako \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Zatem pierwiastki podanego równania to \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Badanie natury korzeni
Dla równania kwadratowego topór ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac nazywamy wyróżnikiem. Możemy uzyskać informacje o naturze pierwiastków, znajdując wartość wyróżnika.

Przykład: 4x ² + 6x + 10
tutaj b = 6, a = 4, c = 10 zatem \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Pierwiastki tego równania są nierzeczywiste lub urojone.

Przykład: 4x ² + 4x + 1
tutaj b = 4, a = 4, c = 1 zatem 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Korzenie są prawdziwe i równe.

Redukcja równania do postaci kwadratowej

Wielu równań nie można podać jako wielomianu drugiego stopnia lub postaci topór ² + bx + c = 0. Ale można je sprowadzić do równania kwadratowego za pomocą odpowiedniej transformacji algebraicznej.

Przykład: Rozwiąż \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Przenieś 3 na prawą stronę, zatem \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Kwadratura z obu stron
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Ponieważ x = 0, nie spełnia tego warunku, więc x = 7 jest jedynym pierwiastkiem.

Rozwiążmy zadania tekstowe z równaniami kwadratowymi.
Przykład: W audytorium liczba miejsc w każdym rzędzie jest o 8 mniejsza niż liczba rzędów. Ile jest miejsc w każdym rzędzie, jeśli na widowni jest 609 miejsc?
Rozwiązanie: Niech liczba wierszy będzie równa x. Zatem liczba miejsc w każdym rzędzie wynosi x − 8. Zatem x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
ponieważ x nie może być ujemne, więc x = 29.

Liczba miejsc w każdym rzędzie = 29 − 8 = 21