Back to the topics list

equações quadráticas

O que é uma equação quadrática?

Equações quadráticas são as equações polinomiais de grau 2 em uma variável. A forma padrão de uma equação quadrática em uma variável é machado ² + bx + c onde a, b, c, ∈ R e a ≠ 0. Os valores de x que satisfazem a equação quadrática são as raízes da equação quadrática. A equação do segundo grau sempre terá duas raízes. A natureza das raízes pode ser real ou imaginária.

Nesta lição, abordaremos diferentes maneiras de resolver equações de segundo grau.

Resolução de equações quadráticas usando fatoração

Resolva x ² + 2x − 15 = 0

Passo 1: Expresse a equação na forma machado ² + bx + c. Esta equação já está nesta forma.

Passo 2 : Fatorar machado ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Passo 3: Coloque cada fator = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Passo 4: Resolva cada equação resultante.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Resposta: x = 3, −5

Resolvendo equação quadrática usando fórmula

Seja a equação quadrática dada machado ² + bx + c = 0, onde a ≠ 0. Resolvendo esta equação obtemos o valor de x como \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Assim, as raízes da equação dada são \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Examinando a natureza das raízes
Para equação quadrática machado ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac é chamado de discriminante. Podemos obter informações sobre a natureza das raízes encontrando o valor do discriminante.

Exemplo: 4x ² + 6x + 10
aqui b = 6, a = 4, c = 10 portanto, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
As raízes dessa equação são irreais ou imaginárias.

Exemplo: 4x ² + 4x + 1
aqui b = 4, a = 4, c = 1 portanto, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
As raízes são reais e iguais.

Reduzindo a equação para a forma quadrática

Muitas equações não podem ser dadas como polinômios de segundo grau ou de forma machado ² + bx + c = 0. Mas eles podem ser reduzidos à equação quadrática usando transformação algébrica adequada.

Exemplo: Resolva \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Mova 3 para o lado direito, portanto \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Quadrado de ambos os lados
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Como x = 0, não satisfaz esta condição, portanto x = 7 é a única raiz.

Vamos resolver problemas envolvendo equações de segundo grau.
Exemplo: Em um auditório, o número de assentos em cada fileira é 8 a menos que o número de fileiras. Quantas cadeiras há em cada fila se houver 609 lugares no auditório?
Solução: Seja x o número de linhas. Portanto, o número de assentos em cada fila é x − 8. Portanto, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
como x não pode ser negativo, portanto x = 29.

Número de assentos em cada fila = 29 − 8 = 21