Back to the topics list

квадратные уравнения

Что такое квадратное уравнение?

Квадратные уравнения — это полиномиальные уравнения второй степени с одной переменной. Стандартная форма квадратного уравнения с одной переменной: топор ² + bx + c, где a, b, c, ∈ R и a ≠ 0. Значения x, удовлетворяющие квадратному уравнению, являются корнями квадратного уравнения. Квадратное уравнение всегда будет иметь два корня. Природа корней может быть как реальной, так и мнимой.

В этом уроке мы рассмотрим различные способы решения квадратных уравнений.

Решение квадратного уравнения с использованием факторизации

Решите х ² + 2 х - 15 = 0

Шаг 1: Представьте уравнение в виде топор ² + бх + в. Это уравнение уже в этой форме.

Шаг 2 : Факторизация топор ² + бх + в.
х ² + 2х - 15
х ² + 5х - 3х -15 ⇒ х (х + 5) - 3 (х + 5)

Шаг 3: Поместите каждый фактор = 0.
(х - 3) (х + 5) = 0

Шаг 4: Решите каждое полученное уравнение.
х - 3 = 0 ⇒ х = 3
х + 5 = 0 ⇒ х = -5

Ответ: х = 3, −5

Решение квадратного уравнения с помощью формулы

Пусть задано квадратное уравнение топор ² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Решая это уравнение, мы получаем значение x как \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Таким образом, корни данного уравнения равны \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Изучение природы корней
Для квадратного уравнения топор ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac называется дискриминантом. Мы можем получить информацию о природе корней, найдя значение дискриминанта.

Пример: 4x ² + 6x + 10
здесь b = 6, a = 4, c = 10, поэтому \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Корни этого уравнения нереальны или мнимы.

Пример: 4x ² + 4x + 1
здесь b = 4, a = 4, c = 1, следовательно, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Корни вещественные и равные.

Приведение уравнения к квадратичной форме

Многие уравнения нельзя представить в виде многочленов второй степени или вида топор ² + bx + c = 0. Но их можно свести к квадратному уравнению с помощью подходящего алгебраического преобразования.

Пример: решить \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Переместите 3 вправо, поэтому \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Квадрат обеих сторон
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Так как x = 0, не удовлетворяет этому условию, поэтому x = 7 является единственным корнем.

Давайте решим текстовые задачи с квадратными уравнениями.
Пример: В зрительном зале количество мест в каждом ряду на 8 меньше, чем количество рядов. Сколько мест в каждом ряду, если в зале 609 мест?
Решение: Пусть количество строк равно х. Таким образом, количество мест в каждом ряду равно x − 8. Следовательно, x⋅(x − 8) = 609.
х ² -8 х - 609 = 0 ⇒ х ² - 29 х + 21 х - 609 = 0
х⋅(х−29) + 21⋅(х−29) = 0 ⇒ (х−29)⋅(х+21) = 0
поскольку х не может быть отрицательным, поэтому х = 29.

Количество мест в каждом ряду = 29 - 8 = 21