Back to the topics list

ekuacionet kuadratike

Çfarë është një ekuacion kuadratik?

Ekuacionet kuadratike janë ekuacione polinomiale të shkallës 2 në një ndryshore. Forma standarde e një ekuacioni kuadratik në një ndryshore është sëpatë ² + bx + c ku a, b, c, ∈ R dhe a ≠ 0. Vlerat e x që kënaqin ekuacionin kuadratik janë rrënjët e ekuacionit kuadratik. Ekuacioni kuadratik do të ketë gjithmonë dy rrënjë. Natyra e rrënjëve mund të jetë ose reale ose imagjinare.

Në këtë mësim, ne do të trajtojmë mënyra të ndryshme për të zgjidhur ekuacionet kuadratike.

Zgjidhja e ekuacionit kuadratik duke përdorur faktorizimin

Zgjidh x ² + 2x − 15 = 0

Hapi 1: Shprehni ekuacionin në formë sëpatë ² + bx + c. Ky ekuacion është tashmë në këtë formë.

Hapi 2 : Faktorizoni sëpatë ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Hapi 3: Vendosni çdo faktor = 0.
(x − 3) (x + 5) = 0

Hapi 4: Zgjidheni çdo ekuacion që rezulton.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Përgjigje: x = 3, −5

Zgjidhja e ekuacionit kuadratik duke përdorur formulën

Le të jetë ekuacioni kuadratik i dhënë sëpatë ² + bx + c = 0, ku a ≠ 0. Duke zgjidhur këtë ekuacion marrim vlerën e x si \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Kështu , rrënjët e ekuacionit të dhënë janë \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Ekzaminimi i natyrës së rrënjëve
Për ekuacionin kuadratik sëpatë ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac quhet diskriminues. Mund të marrim informacion për natyrën e rrënjëve duke gjetur vlerën e diskriminuesit.

Shembull: 4x ² + 6x + 10
këtu b = 6, a = 4, c = 10 pra, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Rrënjët për këtë ekuacion janë joreale ose imagjinare.

Shembull: 4x ² + 4x + 1
këtu b = 4, a = 4, c = 1 pra, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Rrënjët janë reale dhe të barabarta.

Reduktimi i ekuacionit në formë kuadratike

Shumë ekuacione nuk mund të jepen si polinom të shkallës së dytë ose të formës sëpatë ² + bx + c = 0. Por ato mund të reduktohen në ekuacionin kuadratik duke përdorur transformimin e përshtatshëm algjebrik.

Shembull: Zgjidh \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Lëviz 3 në anën e djathtë, prandaj \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Katrore të dyja anët
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Meqenëse x = 0, nuk e plotëson këtë kusht, prandaj x= 7 është rrënja e vetme.

Le të zgjidhim problema me fjalë që përfshijnë ekuacione kuadratike.
Shembull: Në një auditor, numri i vendeve në çdo rresht është 8 më pak se numri i rreshtave. Sa vende janë në çdo rresht nëse ka 609 vende në auditor?
Zgjidhje: Le të jetë x numri i rreshtave. Pra, numri i vendeve në çdo rresht është x − 8. Prandaj, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
pasi x nuk mund të jetë negativ prandaj x = 29.

Numri i vendeve në çdo rresht = 29 − 8 = 21