Back to the topics list

kvadratisk ekvation

Vad är en kvadratisk ekvation?

Andragradsekvationer är polynomekvationerna av grad 2 i en variabel. Standardformen för en andragradsekvation i en variabel är yxa ² + bx + c där a, b, c, ∈ R och a ≠ 0. Värdena på x som uppfyller andragradsekvationen är rötterna till andragradsekvationen. Andragradsekvationen kommer alltid att ha två rötter. Rötternas natur kan vara antingen verkliga eller imaginära.

I den här lektionen kommer vi att täcka olika sätt att lösa andragradsekvationer.

Lösa kvadratisk ekvation med hjälp av faktorisering

Lös x ² + 2x − 15 = 0

Steg 1: Uttryck ekvationen i formuläret yxa ² + bx + c. Denna ekvation finns redan i denna form.

Steg 2 : Faktorisera yxa ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Steg 3: Sätt varje faktor = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Steg 4: Lös varje resulterande ekvation.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Svar: x = 3, −5

Lösa kvadratisk ekvation med formel

Låt den givna andragradsekvationen vara yxa ² + bx + c = 0, där a ≠ 0. Löser vi denna ekvation får vi värdet av x som \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Således är rötterna till den givna ekvationen \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Undersöker arten av rötterna
För andragradsekvationen yxa ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac kallas diskriminant. Vi kan få information om rötternas natur genom att hitta värdet av diskriminanten.

Exempel: 4x ² + 6x + 10
här är b = 6, a = 4, c = 10 därför \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Rötterna till denna ekvation är overkliga eller imaginära.

Exempel: 4x ² + 4x + 1
här b = 4, a = 4, c = 1 därför, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Rötterna är verkliga och lika.

Reducering av ekvation till kvadratisk form

Många ekvationer kanske inte ges som polynom av andra graden eller av form yxa ² + bx + c = 0. Men de kan reduceras till andragradsekvationen med hjälp av lämplig algebraisk transformation.

Exempel: Lös \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Flytta 3 till höger, därför \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Fyrkantig båda sidor
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Eftersom x = 0 inte uppfyller detta villkor är x= 7 den enda roten.

Låt oss lösa ordproblem som involverar andragradsekvationer.
Exempel: I en auditorium är antalet platser i varje rad 8 mindre än antalet rader. Hur många platser finns på varje rad om det finns 609 platser i aulan?
Lösning: Låt antalet rader vara x. Så antalet platser i varje rad är x − 8. Därför är x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
eftersom x inte kan vara negativt är x = 29.

Antal platser i varje rad = 29 − 8 = 21