equadratic equations

Mlinganyo wa Quadratic ni nini?

Milinganyo ya quadratic ni milinganyo ya polinomia ya shahada ya 2 katika kigezo kimoja. Aina ya kawaida ya equation ya quadratic katika variable moja ni ax² + bx + c ambapo a, b, c, ∈ R na a ≠ 0. Thamani za x zinazotosheleza mlingano wa quadratic ndio mizizi ya mlingano wa quadratic. Equation ya quadratic daima itakuwa na mizizi miwili. Asili ya mizizi inaweza kuwa ya kweli au ya kufikiria.

Katika somo hili, tutashughulikia njia tofauti za kutatua milinganyo ya quadratic.

Kutatua Mlinganyo wa Quadratic Kwa Kutumia Factorization

Tatua x ² + 2x − 15 = 0

Hatua ya 1: Eleza mlinganyo katika fomu ax ² + bx + c. Mlinganyo huu tayari uko katika fomu hii.

Hatua ya 2 : Factorize ax ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x -15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Hatua ya 3: Weka kila kipengele = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Hatua ya 4: Tatua kila mlinganyo unaotokana.
x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = -5

Jibu: x = 3, -5

---

Kutatua Mlingano wa Quadratic Kwa Kutumia Mfumo

Acha mlingano wa quadratic uliotolewa uwe ax ² + bx + c = 0, ambapo a ≠ 0. Kutatua mlingano huu tunapata thamani ya x kama \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Kwa hivyo mizizi ya mlinganyo uliotolewa ni \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Kuchunguza asili ya mizizi
Kwa equation ya quadratic ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² - 4ac inaitwa kibaguzi. Tunaweza kupata taarifa juu ya asili ya mizizi kwa kutafuta thamani ya kibaguzi.

Ikiwa b 2 − 4ac > 0	Mizizi ni ya kweli na tofauti. Ikiwa b 2 - 4ac ni mraba kamili, mizizi ni halisi, ya busara, na tofauti. Ikiwa b 2 − 4ac si mraba kamili basi mizizi ni halisi, haina mantiki; na tofauti.
Ikiwa b 2 - 4ac = 0	Mizizi ni ya kweli na sawa
Ikiwa b 2 − 4ac <0	Mizizi ni ya kufikiria

Mfano: 4x ² + 6x + 10
hapa b = 6, a = 4, c = 10 kwa hiyo, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Mizizi ya mlingano huu si ya kweli au ya kufikirika.

Mfano: 4x ² + 4x + 1
hapa b = 4, a = 4, c = 1 kwa hiyo, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Mizizi ni ya kweli na sawa.

---

Kupunguza Mlingano hadi Fomu ya Quadratic

Milinganyo mingi haiwezi kutolewa kama polynomial ya shahada ya pili au ya umbo ax ² + bx + c = 0. Lakini zinaweza kupunguzwa kwa usawa wa quadratic kwa kutumia mabadiliko ya algebraic yanafaa.

Mfano: Tatua \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Sogeza 3 upande wa kulia, kwa hivyo \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Kupiga pande zote mbili
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Kwa kuwa x = 0, haikidhi hali hii kwa hivyo x= 7 ndio mzizi pekee.

---

Wacha tusuluhishe shida za maneno zinazojumuisha milinganyo ya quadratic.
Mfano: Katika ukumbi, idadi ya viti katika kila safu ni 8 chini ya idadi ya safu. Je, kuna viti vingapi katika kila safu ikiwa kuna viti 609 kwenye ukumbi?
Suluhisho: Acha idadi ya safu iwe x. Kwa hivyo idadi ya viti katika kila safu ni x − 8. Kwa hivyo, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
kwani x haiwezi kuwa hasi kwa hivyo x = 29.

Idadi ya viti katika kila safu = 29 − 8 = 21