Back to the topics list

สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองคืออะไร?

สมการกำลังสอง คือสมการพหุนามดีกรี 2 ในตัวแปรเดียว รูปแบบมาตรฐานของสมการกำลังสองตัวแปรเดียวคือ ขวาน ² + bx + c โดยที่ a, b, c, ∈ R และ a ≠ 0 ค่าของ x ที่เป็นไปตามสมการกำลังสองคือรากของสมการกำลังสอง สมการกำลังสองจะมีสองรากเสมอ ลักษณะของรากอาจเป็นของจริงหรือจินตภาพก็ได้

ในบทเรียนนี้ เราจะกล่าวถึงวิธีต่างๆ ในการแก้สมการกำลังสอง

การแก้สมการกำลังสองโดยใช้การแยกตัวประกอบ

แก้โจทย์ x ² + 2x − 15 = 0

ขั้นตอนที่ 1: แสดงสมการในแบบฟอร์ม ขวาน ² +bx+ค. สมการนี้อยู่ในรูปนี้แล้ว

ขั้นตอนที่ 2 : แยกตัวประกอบ ขวาน ² +bx+ค.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) - 3(x + 5)

ขั้นตอนที่ 3: ใส่แต่ละปัจจัย = 0
(x − 3)(x + 5) = 0

ขั้นตอนที่ 4: แก้สมการผลลัพธ์แต่ละสมการ
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

คำตอบ: x = 3, −5

การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

ให้สมการกำลังสองที่กำหนดเป็น ขวาน ² + bx + c = 0 โดยที่ a ≠ 0 การแก้สมการนี้ เราจะได้ค่า x เป็น \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

ดังนั้น รากของสมการที่กำหนดคือ \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

ตรวจสอบลักษณะของราก
สำหรับสมการกำลังสอง ขวาน ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac เรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ เราสามารถรับข้อมูลเกี่ยวกับลักษณะของรากโดยการค้นหาค่าของการเลือกปฏิบัติ

ตัวอย่าง: 4x ² + 6x + 10
ที่นี่ b = 6, a = 4, c = 10 ดังนั้น \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
รากของสมการนี้ไม่มีจริงหรือเป็นจินตภาพ

ตัวอย่าง: 4x ² + 4x + 1
ตรงนี้ b = 4, a = 4, c = 1 ดังนั้น 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
รากมีจริงและเท่าเทียมกัน

การลดสมการเป็นรูปแบบกำลังสอง

สมการจำนวนมากอาจไม่ได้รับเป็นพหุนามของดีกรีสองหรือรูปแบบ ขวาน ² + bx + c = 0 แต่พวกมันสามารถลดเป็นสมการกำลังสองได้โดยใช้การแปลงทางพีชคณิตที่เหมาะสม

ตัวอย่าง: แก้ค่า \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

เลื่อน 3 ไปทางขวามือ ดังนั้น \(\sqrt{x+9} = x -3\)

กำลังสองทั้งสองด้าน
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

เนื่องจาก x = 0 ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ ดังนั้น x= 7 จึงเป็นรากเดียว

ให้เราแก้ปัญหาคำศัพท์เกี่ยวกับสมการกำลังสอง
ตัวอย่าง: ในหอประชุม จำนวนที่นั่งในแต่ละแถวน้อยกว่าจำนวนแถว 8 ที่นั่ง แต่ละแถวมีกี่ที่นั่ง ถ้าหอประชุมมี 609 ที่นั่ง
วิธีแก้ไข: ให้จำนวนแถวเป็น x จำนวนที่นั่งในแต่ละแถวคือ x − 8 ดังนั้น x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
เนื่องจาก x เป็นลบไม่ได้ ดังนั้น x = 29

จำนวนที่นั่งในแต่ละแถว = 29 − 8 = 21