Back to the topics list

quadratic equation

Ano ang isang Quadratic Equation?

Ang mga quadratic equation ay ang polynomial equation ng degree 2 sa isang variable. Ang karaniwang anyo ng isang quadratic equation sa isang variable ay palakol ² + bx + c kung saan ang a, b, c, ∈ R at a ≠ 0. Ang mga halaga ng x na nagbibigay-kasiyahan sa quadratic equation ay ang mga ugat ng quadratic equation. Ang quadratic equation ay palaging magkakaroon ng dalawang ugat. Ang kalikasan ng mga ugat ay maaaring maging totoo o haka-haka.

Sa araling ito, tatalakayin natin ang iba't ibang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation.

Paglutas ng Quadratic Equation Gamit ang Factorization

Lutasin ang x ² + 2x − 15 = 0

Hakbang 1: Ipahayag ang equation sa anyo palakol ² + bx + c. Ang equation na ito ay nasa form na ito.

Hakbang 2 : I-factorize palakol ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Hakbang 3: Ilagay ang bawat salik = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Hakbang 4: Lutasin ang bawat resultang equation.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Sagot: x = 3, −5

Paglutas ng Quadratic Equation Gamit ang Formula

Hayaan ang ibinigay na quadratic equation palakol ² + bx + c = 0, kung saan ang a ≠ 0. Ang paglutas ng equation na ito ay nakukuha natin ang halaga ng x bilang \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Kaya ang mga ugat ng ibinigay na equation ay \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Sinusuri ang kalikasan ng mga ugat
Para sa quadratic equation palakol ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac ay tinatawag na discriminant. Makakakuha tayo ng impormasyon sa likas na katangian ng mga ugat sa pamamagitan ng paghahanap ng halaga ng discriminant.

Halimbawa: 4x ² + 6x + 10
dito b = 6, a = 4, c = 10 samakatuwid, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Ang mga ugat para sa equation na ito ay hindi totoo o haka-haka.

Halimbawa: 4x ² + 4x + 1
dito b = 4, a = 4, c = 1 samakatuwid, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Ang mga ugat ay totoo at pantay.

Pagbawas ng Equation sa Quadratic Form

Maraming mga equation ang maaaring hindi ibigay bilang polynomial ng ikalawang antas o ng anyo palakol ² + bx + c = 0. Ngunit maaari silang bawasan sa quadratic equation gamit ang angkop na algebraic transformation.

Halimbawa: Lutasin ang \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Ilipat ang 3 sa kanang bahagi, samakatuwid \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Pag-squaring sa magkabilang panig
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Dahil ang x = 0, ay hindi nakakatugon sa kundisyong ito kaya ang x= 7 ang tanging ugat.

Lutasin natin ang mga word problem na kinasasangkutan ng mga quadratic equation.
Halimbawa: Sa isang auditorium, ang bilang ng mga upuan sa bawat row ay mas mababa ng 8 kaysa sa bilang ng mga row. Ilang upuan ang nasa bawat hanay kung mayroong 609 na upuan sa auditorium?
Solusyon: Hayaan ang bilang ng mga hilera ay x. Kaya ang bilang ng mga upuan sa bawat hilera ay x − 8. Samakatuwid, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
dahil ang x ay hindi maaaring negatibo samakatuwid x = 29.

Bilang ng mga upuan sa bawat hilera = 29 − 8 = 21