Back to the topics list

ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden Denklem nedir?

İkinci dereceden denklemler, bir değişkende 2. dereceden polinom denklemleridir. Bir değişkende ikinci dereceden bir denklemin standart biçimi balta ² + bx + c burada a, b, c, ∈ R ve a ≠ 0. İkinci dereceden denklemi sağlayan x değerleri, ikinci dereceden denklemin kökleridir. İkinci dereceden denklemin her zaman iki kökü olacaktır. Köklerin doğası gerçek veya hayali olabilir.

Bu derste, ikinci dereceden denklemleri çözmenin farklı yollarını ele alacağız.

İkinci Dereceden Denklemi Çarpanlara Ayırarak Çözme

x ² + 2x − 15 = 0'ı çözün

Adım 1: Denklemi formda ifade edin balta ² + bx + c. Bu denklem zaten bu formda.

Adım 2 : Çarpanlara ayır balta ² + bx + c.
x ² + 2x - 15
x ² + 5x - 3x -15 ⇒ x(x + 5) - 3(x + 5)

Adım 3: Her faktörü = 0 olarak koyun.
(x - 3)(x + 5) = 0

Adım 4: Ortaya çıkan her denklemi çözün.
x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = -5

Cevap: x = 3, -5

İkinci Dereceden Denklemi Formül Kullanarak Çözme

Verilen ikinci dereceden denklem şu olsun: balta ² + bx + c = 0, burada a ≠ 0. Bu denklemi çözerek x'in değerini \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) elde ederiz.

Böylece , verilen denklemin kökleri \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) şeklindedir. \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Köklerin doğasının incelenmesi
ikinci dereceden denklem için balta ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac ayırt edici olarak adlandırılır. Diskriminantın değerini bularak köklerin doğası hakkında bilgi edinebiliriz.

Örnek: ^4x2 + 6x + 10
burada b = 6, a = 4, c = 10 dolayısıyla, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Bu denklemin kökleri gerçek dışı veya hayalidir.

Örnek: 4x ² + 4x + 1
burada b = 4, a = 4, c = 1 bu nedenle, 4 ² - 4⋅4⋅1 = 0
Kökler gerçel ve eşittir.

Denklemi İkinci Dereceden Forma İndirgemek

Pek çok denklem, ikinci dereceden veya formdaki polinom olarak verilmeyebilir. balta ² + bx + c = 0. Ancak uygun cebirsel dönüşüm kullanılarak ikinci dereceden denkleme indirgenebilirler.

Örnek: \(\sqrt{x+9} + 3= x\) çözün

3'ü sağ tarafa taşı, dolayısıyla \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Her iki tarafı da karelemek
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

x = 0 bu koşulu sağlamadığından, x= 7 tek köktür.

İkinci dereceden denklemleri içeren kelime problemlerini çözelim.
Örnek: Bir salonda her sıradaki koltuk sayısı sıra sayısından 8 eksiktir. Oditoryumda 609 koltuk varsa her sırada kaç koltuk vardır?
Çözüm: Satır sayısı x olsun. Yani her sıradaki koltuk sayısı x − 8'dir. Bu nedenle, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
x negatif olamayacağına göre x = 29.

Her sıradaki koltuk sayısı = 29 - 8 = 21