Back to the topics list

квадратичні рівняння

Що таке квадратне рівняння?

Квадратні рівняння — поліноміальні рівняння 2-го ступеня за однією змінною. Стандартною формою квадратного рівняння з однією змінною є сокира ² + bx + c, де a, b, c, ∈ R і a ≠ 0. Значення x, що задовольняють квадратне рівняння, є коренями квадратного рівняння. Квадратне рівняння завжди матиме два корені. Природа коренів може бути як реальною, так і уявною.

У цьому уроці ми розглянемо різні способи розв’язування квадратних рівнянь.

Розв’язування квадратного рівняння за допомогою розкладання на множники

Розв’язати x ² + 2x − 15 = 0

Крок 1: Виразіть рівняння у вигляді сокира ² + bx + c. Це рівняння вже в такому вигляді.

Крок 2 : Розкладіть на множники сокира ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

Крок 3: поставте кожен фактор = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0

Крок 4. Розв’яжіть кожне отримане рівняння.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Відповідь: x = 3, −5

Розв’язування квадратного рівняння за допомогою формули

Нехай задане квадратне рівняння сокира ² + bx + c = 0, де a ≠ 0. Розв’язуючи це рівняння, ми отримуємо значення x як \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

Таким чином , корені даного рівняння \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Вивчення характеру коренів
Для квадратного рівняння сокира ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac називається дискримінантом. Ми можемо отримати інформацію про природу коренів, знайшовши значення дискримінанта.

Приклад: 4x ² + 6x + 10
тут b = 6, a = 4, c = 10, отже, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Корені цього рівняння нереальні або уявні.

Приклад: 4x ² + 4x + 1
тут b = 4, a = 4, c = 1, тому 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Корені дійсні і рівні.

Зведення рівняння до квадратної форми

Багато рівнянь не можуть бути задані як поліном другого ступеня або форми сокира ² + bx + c = 0. Але їх можна звести до квадратного рівняння за допомогою відповідного алгебраїчного перетворення.

Приклад: розв’язати \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

Перемістіть 3 у праву сторону, тому \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Зведення обох сторін у квадрат
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Оскільки x = 0, ця умова не задовольняє, тому x = 7 є єдиним коренем.

Давайте розв’яжемо текстові задачі з квадратними рівняннями.
Приклад: у залі для глядачів кількість місць у кожному ряду на 8 менше, ніж кількість рядів. Скільки місць у кожному ряду, якщо в залі 609 місць?
Рішення: нехай кількість рядків дорівнює x. Отже, кількість місць у кожному ряду дорівнює x − 8. Тому x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
оскільки х не може бути від’ємним, тому х = 29.

Кількість місць у кожному ряду = 29 − 8 = 21