Back to the topics list

چوکور مساوات

ایک چوکور مساوات کیا ہے؟

کواڈریٹک مساوات ایک متغیر میں ڈگری 2 کی کثیر الجہتی مساوات ہیں۔ ایک متغیر میں چوکور مساوات کی معیاری شکل ہے۔ کلہاڑی ² + bx + c جہاں a, b, c, ∈ R اور a ≠ 0۔ چوکور مساوات کو مطمئن کرنے والی x کی قدریں چوکور مساوات کی جڑیں ہیں۔ چوکور مساوات کی ہمیشہ دو جڑیں ہوں گی۔ جڑوں کی نوعیت حقیقی یا خیالی ہو سکتی ہے۔

اس سبق میں، ہم چوکور مساوات کو حل کرنے کے مختلف طریقوں کا احاطہ کریں گے۔

فیکٹرائزیشن کا استعمال کرتے ہوئے چوکور مساوات کو حل کرنا

حل کریں x ² + 2x − 15 = 0

مرحلہ 1: فارم میں مساوات کا اظہار کریں۔ کلہاڑی ² + bx + c. یہ مساوات اس شکل میں پہلے سے موجود ہے۔

مرحلہ 2 : فیکٹرائز کلہاڑی ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

مرحلہ 3: ہر فیکٹر = 0 ڈالیں۔
(x − 3)(x + 5) = 0

مرحلہ 4: ہر نتیجے میں آنے والی مساوات کو حل کریں۔
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

جواب: x = 3، −5

فارمولہ کا استعمال کرتے ہوئے چوکور مساوات کو حل کرنا

دی گئی چوکور مساوات کو رہنے دیں۔ کلہاڑی ² + bx + c = 0، جہاں a ≠ 0۔ اس مساوات کو حل کرنے سے ہمیں x کی قدر ملتی ہے بطور \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

اس طرح دی گئی مساوات کی جڑیں ہیں \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

جڑوں کی نوعیت کا جائزہ لینا
چوکور مساوات کے لیے کلہاڑی ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² − 4ac کو امتیازی کہا جاتا ہے۔ ہم امتیاز کی قدر معلوم کرکے جڑوں کی نوعیت کے بارے میں معلومات حاصل کر سکتے ہیں۔

مثال: 4x ² + 6x + 10
یہاں b = 6، a = 4، c = 10 لہذا، \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
اس مساوات کی جڑیں غیر حقیقی یا خیالی ہیں۔

مثال: 4x ² + 4x + 1
یہاں b = 4، a = 4، c = 1 لہذا، 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
جڑیں اصلی اور برابر ہیں۔

مساوات کو چوکور شکل میں کم کرنا

بہت سی مساواتیں دوسری ڈگری یا شکل کے کثیر نام کے طور پر نہیں دی جا سکتی ہیں۔ کلہاڑی ² + bx + c = 0۔ لیکن مناسب الجبری تبدیلی کا استعمال کرتے ہوئے انہیں چوکور مساوات تک کم کیا جا سکتا ہے۔

مثال: حل کریں \(\sqrt{x+9} + 3= x\)

3 کو دائیں طرف لے جائیں، لہذا \(\sqrt{x+9} = x -3\)

دونوں طرف مربع کرنا
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

چونکہ x = 0، اس شرط کو پورا نہیں کرتا لہذا x= 7 واحد جڑ ہے۔

آئیے ہم الفاظ کے مسائل کو حل کرتے ہیں جن میں چوکور مساوات شامل ہیں۔
مثال: ایک آڈیٹوریم میں، ہر قطار میں نشستوں کی تعداد قطاروں کی تعداد سے 8 کم ہے۔ اگر آڈیٹوریم میں 609 نشستیں ہیں تو ہر قطار میں کتنی نشستیں ہیں؟
حل: قطاروں کی تعداد x ہونے دیں۔ لہذا ہر قطار میں نشستوں کی تعداد x − 8 ہے۔ لہذا، x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
چونکہ x منفی نہیں ہو سکتا اس لیے x = 29۔

ہر قطار میں نشستوں کی تعداد = 29 − 8 = 21