Back to the topics list

kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglama nima?

Kvadrat tenglamalar bir oʻzgaruvchidagi 2-darajali koʻpnomli tenglamalardir. Bitta o'zgaruvchidagi kvadrat tenglamaning standart shakli bolta ² + bx + c bu yerda a, b, c, ∈ R va a ≠ 0. Kvadrat tenglamani qanoatlantiruvchi x ning qiymatlari kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Kvadrat tenglama har doim ikkita ildizga ega bo'ladi. Ildizlarning tabiati haqiqiy yoki xayoliy bo'lishi mumkin.

Bu darsda kvadrat tenglamalarni yechishning turli usullarini ko‘rib chiqamiz.

Kvadrat tenglamani ko‘paytirgichlar yordamida yechish

x ² + 2x − 15 = 0 ni yeching

1-qadam: Tenglamani shaklda ifodalang bolta ² + bx + c. Bu tenglama allaqachon bu shaklda.

2-qadam : faktorizatsiya bolta ² + bx + c.
x ² + 2x − 15
x ² + 5x − 3x −15 ⇒ x(x + 5) − 3(x + 5)

3-qadam: Har bir omilni = 0 qo'ying.
(x − 3)(x + 5) = 0

4-qadam: Har bir natijaviy tenglamani yeching.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5

Javob: x = 3, −5

Kvadrat tenglamani formuladan foydalanib yechish

Berilgan kvadrat tenglama bo'lsin bolta ² + bx + c = 0, bu erda a ≠ 0. Bu tenglamani yechish orqali x ning qiymatini \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) olamiz.

Shunday qilib , berilgan tenglamaning ildizlari \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \( \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

Ildizlarning tabiatini tekshirish
Kvadrat tenglama uchun bolta ² + bx + c = 0, a ≠ 0, b ² - 4ac diskriminant deyiladi. Diskriminantning qiymatini topib, ildizlarning tabiati haqida ma'lumot olishimiz mumkin.

Misol: 4x ² + 6x + 10
bu erda b = 6, a = 4, c = 10 shuning uchun \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Ushbu tenglamaning ildizlari haqiqiy emas yoki xayoliydir.

Misol: 4x ² + 4x + 1
bu yerda b = 4, a = 4, c = 1 demak, 4 ² − 4⋅4⋅1 = 0
Ildizlar haqiqiy va tengdir.

Tenglamani kvadratik shaklga keltirish

Ko'pgina tenglamalar ikkinchi darajali yoki ko'rinishdagi polinom sifatida berilmasligi mumkin bolta ² + bx + c = 0. Lekin ularni mos algebraik transformatsiya yordamida kvadrat tenglamaga keltirish mumkin.

Misol: \(\sqrt{x+9} + 3= x\) ni yeching.

3 ni o'ng tomonga suring, shuning uchun \(\sqrt{x+9} = x -3\)

Ikkala tomonni kvadratga solish
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)

Chunki x = 0, bu shartni qondirmaydi, shuning uchun x= 7 yagona ildiz hisoblanadi.

Kvadrat tenglamalar ishtirokidagi so‘zli masalalarni yechamiz.
Misol: Auditoriyada har bir qatordagi o'rindiqlar soni qatorlar sonidan 8 ta kam. Auditoriyada 609 o‘rin bo‘lsa, har bir qatorda nechta o‘rin bor?
Yechish: Qatorlar soni x bo‘lsin. Demak, har bir qatordagi oʻrindiqlar soni x − 8. Demak, x⋅(x − 8) = 609
x ² −8x − 609 = 0 ⇒ x ² − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
chunki x manfiy bo'lishi mumkin emas, shuning uchun x = 29.

Har bir qatordagi o'rindiqlar soni = 29 - 8 = 21