Phương trình bậc hai là phương trình đa thức bậc 2 một biến. Dạng chuẩn của phương trình bậc hai một biến là
Trong bài học này, chúng ta sẽ trình bày các cách khác nhau để giải phương trình bậc hai.
Giải x 2 + 2x − 15 = 0
Bước 1: Biểu diễn phương trình dưới dạng
Bước 2 : Nhân tố hóa
x 2 + 2x − 15
Bước 3: Đặt mỗi yếu tố = 0.
(x − 3)(x + 5) = 0
Bước 4: Giải từng phương trình thu được.
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 5 = 0 ⇒x = −5
Trả lời: x = 3, −5
Để phương trình bậc hai đã cho là
Do đó nghiệm của phương trình đã cho là \(\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) , \(\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Kiểm tra bản chất của rễ
Đối với phương trình bậc hai
| Nếu b 2 − 4ac > 0 | Rễ là có thật và khác biệt. Nếu b 2 − 4ac là một số chính phương, các nghiệm là thực, hữu tỷ và phân biệt. Nếu b 2 − 4ac không phải là số chính phương thì nghiệm là thực, vô tỷ; và khác biệt. |
| Nếu b 2 − 4ac = 0 | Rễ là có thật và bình đẳng |
| Nếu b 2 − 4ac < 0 | Rễ là tưởng tượng |
Ví dụ: 4x 2 + 6x + 10
ở đây b = 6, a = 4, c = 10 do đó, \( {6^2-4\cdot4\cdot10} = (36 - 160) < 0 \)
Các gốc của phương trình này là không thực hoặc tưởng tượng.
Ví dụ: 4x 2 + 4x + 1
ở đây b = 4, a = 4, c = 1 do đó, 4 2 − 4⋅4⋅1 = 0
Rễ là thực và bình đẳng.
Nhiều phương trình có thể không được đưa ra dưới dạng đa thức bậc hai hoặc dạng
Ví dụ: Giải \(\sqrt{x+9} + 3= x\)
Di chuyển 3 sang vế phải, do đó \(\sqrt{x+9} = x -3\)
Bình phương cả hai bên
\({(\sqrt{x+9})}^2 = {(x-3)}^2\)
\(x+9 = x^2 - 6x + 9\\ x^2-7x = 0\\ x(x-7) = 0\\ x = 0, x = 7 \)
Vì x = 0 không thỏa mãn điều kiện nên x = 7 là nghiệm duy nhất.
Chúng ta hãy giải các bài toán đố liên quan đến phương trình bậc hai.
Ví dụ: Trong một hội trường, số ghế ở mỗi hàng ít hơn số hàng là 8 ghế. Hỏi mỗi hàng có bao nhiêu ghế nếu hội trường có 609 ghế?
Giải: Gọi số hàng là x. Vậy số ghế trong mỗi hàng là x − 8. Do đó, x⋅(x − 8) = 609
x 2 −8x − 609 = 0 ⇒ x 2 − 29x + 21x − 609 = 0
x⋅(x−29) + 21⋅(x−29) = 0 ⇒ (x−29)⋅(x+21) = 0
vì x không thể âm nên x = 29.
Số ghế trong mỗi hàng = 29 − 8 = 21
