Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, deren Graph eine gerade Linie ist . Eine Gleichung der Form \(ax + by + c = 0\) , wobei a, b, c reelle Zahlen sind und a ≠ 0, b ≠ 0, ist eine allgemeine lineare Gleichung mit zwei Variablen x und y. Beispielsweise sind 5x + 2y = 4, \(\frac{1}{2} x + 6y = 10\) lineare Gleichungen mit x und y.
Befolgen Sie die nachstehenden Schritte, um die lineare Gleichung mit zwei Variablen grafisch darzustellen:
1. Schreiben Sie eine Gleichung in der Form, in der eine Variable in Abhängigkeit von der anderen dargestellt wird. Beispielsweise kann die Gleichung 5x + y = 14 als y = 14 − 5x geschrieben werden.
2. Finden Sie mindestens drei Wertesätze für diese Variablen. Finden Sie in der obigen Gleichung einen Wertesatz für x und y.
| x | 1 | 2 | 3 |
| ja | 9 | 4 | -1 |
Geordnete Paare: (1, 9), (2, 4), (3, -1)
3. Zeichnen Sie die x- und y-Achse und legen Sie Ihren Maßstab fest, um diese drei Punkte in das Diagramm einzuzeichnen.
4. Verbinden Sie diese drei Punkte (1, 9), (2, 4), (3, -1)
5. Sie erhalten eine gerade Linie, die durch sie verläuft.
Graph der Gleichung ersten Grades mit nur einer Unbekannten y = k ist die Linie parallel zur x-Achse im Abstand von k Einheiten von dieser. In ähnlicher Weise ist Gleichung x = k die Linie parallel zur y-Achse im Abstand von k Einheiten von dieser.
Beispiel: Die Grafik unten stellt x = 3 und y = 5 dar. Bei der Gleichung x = 3 ist der Wert von x für jeden y-Wert gleich 3, ebenso ist bei der Gleichung y = 5 der Wert von y für jeden x-Wert gleich 5.
Gleichungssysteme mit zwei oder mehr Variablen, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Variablen ist, werden als Gleichungssysteme bezeichnet. Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten können unendlich viele Lösungen haben. Beispielsweise kann x + y = 20 für viele Paare von x und y gelten. Wie (1) x = 10, y = 10 (2) x = 12, y = 8 (3) x = 13, y = 7 usw.
Wenn man eine andere Gleichung parallel dazu verwendet, ist es möglich, das einzige Wertepaar zu finden, das beide Gleichungen gleichzeitig löst. Diese werden als simultane Gleichungen bezeichnet. Mit anderen Worten :
Zwei Gleichungen, deren Graphen sich in einem Punkt schneiden, der durch ein geordnetes Zahlenpaar benannt ist, das beide Gleichungen erfüllt, heißen simultane Gleichungen.
Die Koordinaten des Schnittpunkts ergeben die gemeinsame Lösung der beiden gegebenen linearen Gleichungen. Sehen wir uns an, wie man die unbekannten Variablenwerte grafisch mithilfe zweier linearer Gleichungen findet.
Beispiel: Grafische Lösung von 2x − y = 6, x + y = 12
| x | 1 | 2 | 4 | 7 |
| y | -4 | -2 | 2 | 8 |
| x | 1 | 2 | 0 | 7 |
| ja | 11 | 10 | 12 | 5 |
Zeichnen Sie diese Punkte auf und verbinden Sie sie, um eine gerade Linie zu erhalten, die die Gleichung darstellt.
Lesen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts ab. Hier sind sie (6,6), daher löst x = 6, y = 6 beide Gleichungen.
Der Abstand d zwischen dem Punkt P mit den Koordinaten (x 1 ,y 1 ) und Q mit den Koordinaten (x 2 ,y 2 ) beträgt
\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Daher ist der Abstand des Punktes P vom Ursprung \(d = \sqrt{(x_1 - 0)^2 + (y_1 - 0)^2} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)
Beispiel: Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Punkten (7, 9), (4, 5)
\(d = \sqrt{(7-4)^2 + (9 -5)^2} \\ d = \sqrt{9 + 16} \\ d = \sqrt25 = 5\)
Antwort: Der Abstand zwischen zwei Punkten beträgt 5 Einheiten.
Beispiel: Die Koordinaten der Eckpunkte einer Quadratseite sind (1, 2) und (3, 8). Wie groß ist seine Fläche?
Die Länge der Seite beträgt
\(S = \sqrt{(1-3)^2 + (2 -8)^2} \\ S = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \)
Die Fläche eines Quadrats beträgt S 2 = \({(\sqrt{40})}^2\)
Antwort: Die Fläche des Quadrats beträgt 40 Quadrateinheiten.
